Enunciado

O conjunto β = 2 ,   - 1 ,   - 3 ,   2 é uma base do R 2 . Escrever o vetor genérico do R 2 como combinação linear de β .

Passo 1

O que a questão quer é que a gente ache o vetor genérico ( x ,   y ) do R 2 na base β . Apesar de sabermos que β é base do R 2 , vamos fazer aquela combinação linear para encontramos o espaço gerado por β .

a 2 ,   - 1 + b - 3 ,   2 = x ,   y

2 a - 3 b ,   - a + 2 b = x ,   y

Isso nos dá um sistema:

2 a - 3 b = x - a + 2 b = y

Passo 2

Agora vamos resolver o sistema e sumir com a e b . pra tirar o a , vamos somar a primeira equação com o dobro da segunda:

2 a - 3 b + 2 - a + 2 b = x + 2 y

b = x + 2 y

Substituindo isso na segunda equação:

- a + 2 x + 2 y = y

- a + 2 x + 4 y = y

a = 2 x + 3 y

Então a nossa equação do subespaço vai ser:

x ,   y = 2 x + 3 y 2 ,   - 1 + ( x + 2 y ) ( - 3 ,   2 )

Resposta

x ,   y = 2 x + 3 y 2 ,   - 1 + ( x + 2 y ) ( - 3 ,   2 )

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