Enunciado

Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de R 2 ?

b) u 1 =   4 ,   1 ,   u 2 =   - 7 ,   - 8

Passo 1

Vamos lá! Para um conjunto de vetores ser base, ele precisa ser necessariamente linearmente independente.

Fazendo a combinação linear entre os 2 vetores temos:

a ⋅ u 1 + b ⋅ u 2 = 0

a ⋅ 4 ,   1 + b ⋅ - 7 ,   - 8 = ( 0 ,   0 )

a = b = 0

Como a única resposta possível pra nossa equação é a trivial logo nosso conjunto é L.I.

Passo 2

Agora temos que ver se nosso sistema gera todo o R 2 .

Sendo um vetor qualquer v = ( x , y ) temos:

x ,   y = a 4,1 + b - 7 ,   - 8

a = x + 7 ⋅ ( x - 4 y 25 ) 4 , b = x - 4 y 25

a = 32 x - 28 y 100

x , y = 32 x - 28 y 25 ,   32 x - 28 y 100 + - 7 x + 28 y 25 ,   - 8 x + 32 y 25 → 25 x 25 , 100 y 100 = ( x ,   y )

Logo nosso conjunto gera todo R 2 , com isso podemos afirmar que u 1 e u 2 são base para R 2 .

Isso é tudo pessoal! Até a próxima!

Resposta

É base.

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