Enunciado

Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?

b) 4 +   6 x +   x 2 ,   - 1 +   4 x +   2 x 2 ,   5 + 2 x - x 2

Passo 1

Vamos lá! Para um conjunto de vetores ser base, ele precisa ser necessariamente linearmente independente.

Fazendo a combinação linear entre os 3 polinômios temos:

a ⋅ u 1 + b ⋅ u 2 + c ⋅ u 3 = 0

a ⋅ 4 +   6 x +   x 2   + b ⋅ - 1 +   4 x +   2 x 2 + c ⋅ ( 5 + 2 x - x 2 ) = 0

Vamos fazer a = 1 , b = - 1 ,   c = - 1

1 ⋅ 4 +   6 x +   x 2   + ( - 1 ) ⋅ - 1 +   4 x +   2 x 2 + ( - 1 ) ⋅ 5 + 2 x - x 2

= 4 + 1 - 5 + 6 x - 4 x - 2 x + ( x 2 - 2 x 2 + x 2 )

4 + 1 - 5 + 6 x - 4 x - 2 x + x 2 - 2 x 2 + x 2 = 0

Como nossa combinação linear aceita uma solução não trivial logo nosso sistema é linearmente dependente, assim nosso conjunto de vetores não é base de P 2 .

Resposta

Não é base.

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