Enunciado

Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de R 3 ?

b) u 1 =   3 ,   1 ,   - 4 ,   u 2 =   2 ,   5 ,   6 ,   u 3 = ( 1 ,   4 ,   8 )

Passo 1

Vamos lá! Para um conjunto de vetores ser base, ele precisa ser necessariamente linearmente independente.

Fazendo a combinação linear entre os 3 vetores temos:

a ⋅ u 1 + b ⋅ u 2 + c ⋅ u 3 = 0

a ⋅ 3 ,   1 ,   - 4 + b ⋅ 2 ,   5 ,   6 + c ⋅ ( 1 ,   4 ,   8 ) = ( 0 ,   0 ,   0 )

Isso gera um sistema de equações:

3 a + 2 b + c = 0 a + 5 b + 4 c = 0 - 4 a + 6 b + 8 c = 0

Como nosso sistema de equações só aceita a resposta trivial nosso conjunto de vetores será necessariamente L.I.

Passo 2

Seja um vetor v = ( x ,   y ,   z ) vamos fazer uma combinação linear entre os vetores dados, para provar que nosso conjunto gera R 3 .

det ⁡ A = 3 1 - 4 2 5 6 1 4 8 = 26

det ⁡ A ≠ 0

Como det ⁡ A ≠ 0 , temos que nossa matriz atende os quesitos b , e e g do teorema 2.3 . 8 (da uma olhadinha no exemplo apresentado na pag. 203 )

Logo nosso conjunto gera R 3 assim nosso conjunto é base do R 3 .

Resposta

É base.

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