Enunciado

Seja A x = b um sistema de n equações lineares e n incógnitas com todos os coeficientes e as constantes números inteiros. Prove que se det ⁡ A = 1 , então a solução x tem entradas inteiras.

Passo 1

Nessa questão, temos que manipular a equação A x = b para isolar o x . Então:

A x = b

x = A - 1 b

Passo 2

Se det ⁡ A = 1 vamos usar da relação A - 1 = 1 det ⁡ A a d j ( A ) para ter:

A - 1 = 1 1 . a d j A       ∴         A - 1 = a d j ( A )

Logo, x = a d j A b

Passo 3

Se a matriz dos cofatores possui entradas inteiras, a sua transposta também terá.

Logo, como a d j A = c o f A T

Então, a matriz adjunta também terá entradas inteiras.

Passo 4

Se b possui entradas inteiras e a matriz adjunta também, então o produto a d j A b também resultará numa matriz com entradas inteiras.

Logo, x possui todas as entradas inteiras.

Resposta

x possui apenas entradas inteiras.

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