Enunciado

Considere as retas x , y , z = t ( 1,2 , - 3 ) e x , y , z = 0,1 , 2 + s ( 2,4 , - 6 ). Encontre a equação geral do plano que contém estas duas retas.

Passo 1

Primeiramente, observamos que os vetores dessas retas são múltiplos:

1,2 , - 3   e   ( 2,4 , - 6 )

Logo, essas retas são paralelas. Então é possível encontrar o plano que as contêm.

O plano vai ser paralelo a esses vetores, logo podemos considerar que o plano é paralelo ao vetor ( 1,2 - 3 ) .

Além disso, podemos retirar outro vetor desse plano, através de dois pontos dessas retas.

Passo 2

Considerando os pontos 0,0 , 0 e   ( 0,1 , 2 ) das retas, tiramos o vetor:

( 0,1 , 2 )

Para encontrarmos o vetor normal do plano então, é só fazermos o produto vetorial entre esses dois vetores:

i j k 0 1 2 1 2 - 3 = - 7 i + 2 j - 1 k

O vetor normal do plano então é: ( - 7,2 , - 1 )

Passo 3

O plano então é da forma:

- 7 x + 2 y - z + d = 0

Como o ponto ( 0,0 , 0 ) pertence à reta, e consequentemente ao plano, substituindo temos:

- 7 x + 2 y - z = 0

7 x - 2 y + z = 0

Prontinho! 😉

Resposta

7 x - 2 y + z = 0

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