Lista de Exercícios Resolvidos de Introdução ao Plano

Ver Teoria

Determinar as equações paramétricas da reta interseção dos planos:

π 1 : 2 x - y - 3 z - 5 = 0 e π 2 : x + y - z - 3 = 0

Ver solução completa

Escrever a equação cartesiana do plano π que passa pelo ponto A ( 3 ,   1 ,   - 4 ) e é paralelo ao plano:

π 1 : 2 x - 3 y + z - 6 = 0

Ver solução completa

Ache o ponto de interseção da reta r , que passa pelos pontos A = 1 ,   1 ,   1 e B = ( 1 ,   2 ,   3 ) , com o plano α que tem n → = ( 2 ,   1 ,   3 ) como vetor normal e passa pelo ponto C = ( 0 ,   0 ,   0 ) .  

Ver solução completa

Dê uma equação vetorial do plano π que tem por equações paramétricas

x = - 6 + λ - µ y = - 1 + 7 λ - 14 µ z = 4 - 5 λ + 2 µ

Ver solução completa

Determinar a equação geral do plano que contém as retas

r 1 : y = 2 x + 1 z = - 3 x - 2 e r 2 : x = - 1 + 2 t y = 4 t z = 3 - 6 t

Ver solução completa

O ponto P tem coordenadas ( 4 ,   1 ,   - 1 ) e a reta r passa pelo ponto P 0 ( 2 ,   4 ,   1 ) e é paralela ao vetor v → = ( 1 ,   - 1 ,   2 ) . Mostrar que P não pertence à reta r e determinar a equação do plano que contém P e r .

Ver solução completa

Estabelecer a equação geral do plano determinado pelos pontos A 2 ,   1 ,   - 1 ,   B ( 0 ,   - 1 ,   1 ) e C ( 1 ,   2 ,   1 ) .

Ver solução completa

Determinar a equação geral do plano que passa pelo ponto A ( 1 ,   - 3 ,   4 ) e é paralelo aos vetores v 1 → = ( 3 ,   1 ,   - 2 ) e   v 2 → = ( 1 ,   - 1 ,   1 ) .

Ver solução completa

Escreva equações paramétricas para os três planos coordenados.

Ver solução completa

Determine a equação geral do plano que contém os pontos A ( 1 ,   - 2 ,   2 ) e B ( - 3 ,   1 ,   - 2 ) e é perpendicular ao plano

π : 2 x + y - z + 8 = 0

Ver solução completa

Um plano em R 3 divide o espaço em duas partes, denominadas semiespaços. Considere o plano 3 x + y - z = 0 . Qual dos seguintes pontos encontra-se no mesmo semiespaço que o ponto 3,2 , 1 ?

(a) ( 0,1 , 2 )

(b) 1,2 , 7

(c) 4 , - 1,3

(d) ( - 3,2 , 2 )

Ver solução completa

Considere as retas em R 3

r 1   =   { ( 1 ,   0 ,   0 )   +   t ( 1 ,   1 ,   0 ) | t   ∈ R }   e r 2   =   { ( 0 ,   - 2 ,   1 )   +   t ( 1 ,   0 ,   2 ) | t   ∈ R }   .

(a) Encontre a equação cartesiana do plano Π que contém a reta r 1 e o ponto P   =   ( 2 ,   - 1 ,   1 ) .

Ver solução completa

Considere a reta r e os planos Π 1 ,   Π 2   e   Π 3 dados por:

r   =   {   1   +   t ,   2   -   t ,   1   +   t ∈ R 3   | t   ∈ R } ;

Π 1 =   x ,   y ,   z ∈ R 3   x + 2 y + a z = b }, onde a e b são constantes;

Π 2 =   x ,   y ,   z ∈ R 3   x - 2 y + c z = d } , onde c e d são constantes;

Π 3 =   x ,   y ,   z ∈   R 3   x + y   + e z   = f } , onde e e f   são constantes;

Assuma que Π 1 ∩ Π 2 ∩ Π 3 = r e determine os valores das constantes a ,   b ,   c ,   d ,   e e   f

Ver solução completa

Dados os pontos A = ( 1 ,   1 ,   1 ) e B = ( 2 ,   - 2 ,   1 ) e o vetor v → = ( 1 ,   1 ,   0 )

a) Escreva equações paramétricas para a reta r que contém B e é paralela a v → .

b) Escreva equações paramétricas para o plano π que contém a reta r e o ponto A .

Ver solução completa

Considere os pontos A = ( 1 ,   2 ,   3 ) e B = ( 3 ,   2 ,   2 ) . Determine uma equação para o lugar geométrico dos pontos X que são equidistantes de A e B .

Ver solução completa

Na figura são dadas as retas

r : X = 0 ,   2 ,   1 + λ ( 1 ,   1 ,   1 )

s : x + 1 = y - 1 = z + 2 3

E o plano π : 2 x - y + z - 1 = 0 . Determine as coordenadas dos pontos A , B e C .

Ver solução completa

Decida quais das afirmações é verdadeira e qual é falsa. Justifique.

  1. O lugar geométrico dos pontos P x , y , z , tais que 2 x + y = 1 , é uma reta.
  2. Os planos ∏ 1 : a x + 4 y + z = 0 e ∏ 2 : 2 x + 3 y + 5 z + 7 = 0 , são transversais para todo valor de a ∈ R .
  3. A distância do ponto 1,0 , 0 até a reta de interseção dos planos x = 1 , e y + z = 3 , é menor que 2,5.

Ver solução completa

Determine a equação paramétrica da reta de interseção dos planos ∏ 1 : x + y - z = 0 e ∏ 2 : 2 x - y + 3 z = 1 .

Ver solução completa

Considere os pontos

P = ( 1 ,   2 ,   0 ) e Q = ( 2 ,   1 ,   1 ) ,

a reta r de equações paramétricas

r : 1 + t ,   2 + t ,   2 t ,   t ∈ R

e o plano p suja equação cartesiana é

p : x + 2 y + 3 z = 6

b) Determine a equação cartesiana do plano η que contém a reta r e o ponto Q .

Ver solução completa