Enunciado

Considere p seguinte sub-espaço vetorial de C 3 :

W = 1 ,   0 ,   i ,   1 ,   1 + i ,   1 - i ,   1 ,   - 1 - i ,   - 1 + 3 i

Determinar uma base desse sub-espaço.

Passo 1

Belezinha galerinha, como ele já deu o conjunto de vetores pra gente, só precisamos descobrir quais deles são linearmente independentes, então bora montar uma matriz com eles e escalonar.

Passo 2

O conjunto dado é W = 1 ,   0 ,   i ,   1 ,   1 + i ,   1 - i ,   1 ,   - 1 - i ,   - 1 + 3 i e passando para uma matriz, temos

B = 1 0 i 1 1 + i 1 - i 1 - 1 - i - 1 + 3 i

E escalonando agora temos

1 0 i 1 1 + i 1 - i 1 - 1 - i - 1 + 3 i ⇒     L 2 = L 2 - L 1   L 3 = L 3 - L 1 = 1 0 i 0 1 + i 1 - 2 i 0 - 1 - i - 1 + 2 i

    L 3 = L 3 - L 2 = 1 0 i 0 1 + i 1 - 2 i 0 0 0

Logo, descobrimos uma linha de zeros, isso quer dizer que temos apenas 2 vetores L.I, então só teremos dois vetores na base de W que vai ser dada por

W = 1 ,   0 ,   i ,   1 ,   1 + i ,   1 - i

Resposta

W = 1 ,   0 ,   i ,   1 ,   1 + i ,   1 - i

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