Enunciado

Considere os seguintes subespaços de R 3 :

V   =   [ ( - 1,2 , 3 ) , ( 1,3 , 4 ) ] e W   = [ ( 1,2 , - 1 ) , ( 0,1 , 1 ) ] .

Encontre as equações paramétricas da reta V ∩ W e uma base para o subespaço V ∩ W . A notação V 1 , V 2 significa o subespaço gerado por V 1 e V 2 , ou seja, o conjunto de todas as combinações lineares de V 1 e V 2 .

Passo 1

Oiie, tudo certinho? Vamos começar?

Para formar a base desejada é interessante lembrar que a intersecção entre ambos os planos (note que é um subespaço tridimensional, mas que é formado por dois vetores, portanto planos) é dada por uma reta cujo vetor diretor é dado por:

V   =   N 1 × N 2

em que N 1 e N 2 são os vetores normais dos dois planos. Vamos então achar isso primeiro, beleza?

Passo 2

Podemos achar o vetor normal como:

N 1   =   ( - 1,2 , 3 ) × ( 1,3 , 4 )

obtido fazendo o determinante da seguinte matriz:

=   ( 8 x ^ + 3 y ^ - 3 z ^ ) + ( - 2 z ^ - 4 y ^ - 9 x ^ ) = - 1 x ^ + 7 y ^ - 5 z ^ = ( - 1,7 , - 5 )

Portanto, temos:

N 1   =   ( - 1,7 , - 5 )           ( 1 )

Analogamente para N 2 , temos:

= ( 2 x ^ + z ^ ) + ( - y ^ + x ^ ) = 3 x ^ - y ^ + z ^ = ( 3 , - 1,1 )

ou seja:

N 2   =   ( 3 , - 1,1 )           ( 2 )

Vamos agora achar a intersecção reta deste dois planos e checar se o vetor é nulo ou não. Porque isso irá nos dizer a base! Belezinha?

Passo 3

Temos que a reta interseção é dada como:

( x , y , z )   = t ( x d , y d , z d )  

em que t é um parâmetro qualquer da reta e V   =   N 1 × N 2 = ( x d , y d , z d ) é o vetor diretor dessa reta, bora lá então!

= 7 x ^ - 15 y ^ + z ^ - 21 z ^ + y ^ - 5 x ^ =   2 x ^ - 14 y ^ - 20 z ^ = ( 2 , - 14 , - 20 )

tal que:

V   =   ( 2 , - 14 , - 20 )

De forma que a reta interseção é da seguinte forma:

( x , y , z )   =   t ( 2 , - 14 , - 20 )

E como ela é não nula, temos que esta é a base da reta, como pedido no enunciado. A questão foi isso, te vejo na próxima!

Resposta

( x , y , z ) = t ( 2 , - 14 - 20 )

Exercícios de Livros Relacionados

Determinar o subespaço de P 2 (espaço vetorial dos polinômios de grau ≤ 2 ) gerado pelos seguintes vetores: p 1 = x 2 p 2 = x 2 + x
Verificar se o vetor v = ( - 1 ,- 3 ,2 ,0 ) pertence ao subespaço do R 4 gerado pelos vetores v 1 = ( 2 ,- 1 ,3 ,0 ) , v 2 = ( 1 ,0 ,1 ,0 ) e v 3 = ( 0 ,1 ,- 1 ,0 ) .
Determina o espaço de P 2 (espaço vetorial dos polinômios de grau ≤ 2 ) gerado pelos seguintes vetores: p 1 = 2 x + 2 p 2 = - x 2 + x + 3 p 3 = x 2 + 2 x
Mostrar que os vetores v_1 = ( 2 , 1 ) e v_2 = ( 1 , 1 ) geram o R^2 .
Mostrar que os vetores v_1 = ( 1 , 1 , 1 ) , v_2 = ( 0 , 1 , 1 ) e v_3 = ( 0 , 0 , 1 ) geram o R^3 .