Enunciado

Mostrar que os vetores v_1 = ( 2 , 1 ) e v_2 = ( 1 , 1 ) geram o R^2 .

Passo 1

Fala ai meu querido para resolver esse problema e o que vai ser o pulo do gato muitas vezes daqui pra frente, é o seguinte:

Para n vetores, de componentes ( a_1 , a_2 , ... , a_n ) , formarem o R^n , todos eles têm que ser L I .

Faz sentido, né? Pega a base canônica do R^3 por exemplo: são os vetores ( 1 , 0 , 0 ) , ( 0 , 1 , 0 ) e ( 0 , 0 , 1 ) . Daí, temos 3 vetores necessários pra formar o espaço, todos eles L I , sacou?

Passo 2

Beleza, isso aí vai servir pra gente no R^2 também! Vamos precisar de 2 vetores da forma ( x , y ) , ambos L I , pra gerar o R^2 .

Nos vetores da questão a gente já tem quase tudo: dois vetores de duas componentes cada. Se a gente garantir que eles são L I , fechou o nosso problema! Vamos testar.

Ser L I significa que a única combinação linear que leva no vetor nulo é a que tem todos os coeficientes nulos. Bora fazer as contas então!

a v_1 + b v_2 = 0

a (2 , 1) + b (1 , 1) = (0 , 0)

Isso nos dá o sistema:

{[[2 a + b = 0],[a + b = 0]])

Subtraindo as equações, encontramos a = 0 , e substituindo em qualquer uma vamos encontrar b = 0 . É isso que a gente queria!

Garantimos então que eles são L I , e portanto esses vetores geram o R^2 .

Resposta

Demonstração.

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