Enunciado

Considere o subespaço R 4

S = 1 ,   1 ,   - 2 ,   4 ,   1 ,   1 ,   - 1 ,   2 ,   1 ,   4 ,   - 4 ,   8

a) O vetor 2 3 ,   1 ,   - 1 ,   2 pertence a S ?

b) O vetor 0 ,   0 ,   1 ,   1 pertence a S ?

Passo 1

Para ver se um vetor pertence a S , temos que ver se ele pode ser escrito como combinação linear dos vetores de S , isto é,

u = x   1 ,   1 ,   - 2 ,   4 + y   1 ,   1 ,   - 1 ,   2 + z   1 ,   4 ,   - 4 ,   8

No item (a), temos que u = 2 3 ,   1 ,   - 1 ,   2 . Assim, escrevemos

2 3 ,   1 ,   - 1 ,   2 = x   1 ,   1 ,   - 2 ,   4 + y   1 ,   1 ,   - 1 ,   2 + z   1 ,   4 ,   - 4 ,   8

Desenvolvendo o lado direito, encontramos

2 3 ,   1 ,   - 1 ,   2 = x + y + z ,   x + y + 4 z ,   - 2 x - y - 4 z ,   4 x + 2 y + 8 z

Com isso, podemos escrever o sistema

x + y + z = 2 3 x + y + 4 z = 1 - 2 x - y - 4 z = - 1 4 x + 2 y + 8 z = 2

Fazendo a segunda equação menos a primeira, achamos

3 z = 1 - 2 3 = 1 3 ⇒ z = 1 9

Substituindo isso em todas as equações, encontramos

x + y + 1 9 = 2 3 x + y + 4 9 = 1 - 2 x - y - 4 9 = - 1 4 x + 2 y + 8 9 = 2 ⇒ x + y = 5 9 x + y = 5 9 - 2 x - y = - 5 9 4 x + 2 y = 10 9

As duas primeiras equações são idênticas, então podemos jogar uma delas fora. Vamos multiplicar a terceira equação por - 1 e dividir a última por 2 :

x + y = 5 9 2 x + y = 5 9 2 x + y = 5 9

Como as duas últimas equações são iguais, vamos jogar a terceira fora e ficar com

x + y = 5 9 2 x + y = 5 9

É fácil ver que a solução desse sistema é x = 0 e y = 5 / 9 . Portanto, com

x = 0 ,         y = 5 9           e       z = 1 9 ,

foi possível escrever

2 3 ,   1 ,   - 1 ,   2 = x   1 ,   1 ,   - 2 ,   4 + y   1 ,   1 ,   - 1 ,   2 + z   1 ,   4 ,   - 4 ,   8

Assim, como 2 3 ,   1 ,   - 1 ,   2 é combinação linear dos vetores de S , ele pertence a S .

Passo 2

No item (b), devemos considerar u = 0 ,   0 ,   1 ,   1 . Assim, devemos escrever

0 ,   0 ,   1 ,   1 = x   1 ,   1 ,   - 2 ,   4 + y   1 ,   1 ,   - 1 ,   2 + z   1 ,   4 ,   - 4 ,   8

Desenvolvendo o lado direito, encontramos

0 ,   0 ,   1 ,   1 = x + y + z ,   x + y + 4 z ,   - 2 x - y - 4 z ,   4 x + 2 y + 8 z

O sistema fica

x + y + z = 0 x + y + 4 z = 0 - 2 x - y - 4 z = 1 4 x + 2 y + 8 z = 1

Fazendo a segunda equação menos a primeira, achamos

3 z = 0 ⇒ z = 0

Substituindo z = 0 nas demais e já se livrando da primeira equação, ficamos com

x + y = 0 - 2 x - y = 1 4 x + 2 y = 1

Vamos multiplicar a segunda equação por ( - 1 ) e dividir a terceira por 2 :

x + y = 0 2 x + y = - 1 2 x + y = 1 2

Olhando para as duas últimas equações, vemos que esse sistema é impossível. Desta forma, não conseguimos achar x ,   y e z tais que u seja combinação linear dos vetores de S . Portanto, 0 ,   0 ,   1 ,   1 não pertence a S .

Resposta

Sim.

Não.

Ver Outros Exercícios desse livro