Enunciado

Considere dois vetores a ,   b e c ,   d no plano. Se a d - b c = 0 , mostre que eles são LD. Se a d - b c ≠ 0 , mostre que eles são LI.

Passo 1

O primeiro passo aqui é lembrar as condições para que dois vetores sejam LD ou LI. Considere dois vetor u = a ,   b e v = c ,   d tais que seja válida a relação

x u + y v = 0

Uma solução imediata para esse problema é a solução trivial:

x = y = 0

Se essa for a única solução da equação, dizemos que u e v são LI. Caso seja possível achar algum x e algum y diferentes de zero que satisfaçam a equação, os vetores u e v são considerados LD.

Passo 2

Vamos substituir os vetores u e v por suas componentes:

x a ,   b + y c ,   d = 0 ,   0

Assim,

a x + c y ,   b x + d y = 0 ,   0

Desta forma, podemos escrever o sistema linear homogêneo:

a x + c y = 0 b x + d y = 0

Naturalmente, x = y = 0 é uma solução desse sistema, como ocorre para qualquer sistema homogêneo. A questão é: essa solução trivial é a única ou existem outras? Para responder essa pergunta, escrevemos o sistema na forma matricial:

a c b d ⋅ x y = 0 0

Para que sistema tenha uma única solução (que seria a trivial), devemos ter

det ⁡ a c b d = a d - b c ≠ 0

Nesse caso, como a única solução possível é x = y = 0 , os vetores u e v são LI. Provamos, portanto, que se a d - b c ≠ 0 , os vetores são necessariamente LI.

Passo 3

Agora, se o determinante for nulo, isto é, se a d - b c = 0 , o sistema é indeterminado, de modo que ele tem infinitas soluções. Com isso, garantimos que existem x ≠ 0 e y ≠ 0 tais que

x u + y v = 0

Desta forma, se a d - b c = 0 , os vetores são LD.

Resposta

Demonstração.

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