Enunciado

Definimos coordenadas de pontos no espaço em relação a um sistema de coordenadas determinado por um ponto O ' e três vetores V 1 ,   V 2     e     V 3     L . I . não necessariamente ortonormais do R 3 da mesma forma como fizemos quando os vetores formam uma base ortonormal. As coordenadas de um ponto P no sistema de coordenadas { O ' , V 1 ,   V 2 ,   V 3 } e definido como sendo os escalares que aparecem ao escrevermos O ' P ⃑ como combinação linear dos vetores V 1 ,   V 2 ,   V 3 , ou seja, se

O ' P ⃑ = x ' V 1 + y ' V 2 + z ' V 3 ,

Então as coordenadas de P no sistema { O ' ,   V 1 ,   V 2 ,   V 3 } são dadas por

P { O ' ,   V 1 ,   V 2 ,   V 3 } = x ' y ' z '

Assim, se O ' P ⃑ = x , y , z , então x ' V 1 + y ' V 2 + z ' V 3 = O ' P ⃑ pode ser escrito como

V 1   V 2   V 3 = x ' y ' z ' = x y z

b) Mostre que as coordenadas de um ponto P no espaço em relação ao sistema { O ' ,   V 1 ,   V 2 ,   V 3 } estão bem definidas, ou seja, x ' ,   y ' e   z ' estão unicamente determinados e são dados por

P { O ' ,   V 1 ,   V 2 , V 3 } = x ' y ' z ' = Q - 1   x y z = Q - 1 p { O ' , i - ,   j - , k - }   .

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão do livro de álgebra linear do Reginaldo Santos ele pede para definir as coordenadas de pontos no espaço em relação a um sistema de coordenadas determinado por um ponto O ' e três vetores V 1 ,   V 2     e     V 3     L . I . não necessariamente ortonormais do R 3 da mesma forma como fizemos quando os vetores formam uma base ortonormal. As coordenadas de um ponto P no sistema de coordenadas { O ' , V 1 ,   V 2 ,   V 3 } e definido como sendo os escalares que aparecem ao escrevermos O ' P ⃑ como combinação linear dos vetores V 1 ,   V 2 ,   V 3 , ou seja, se

O ' P ⃑ = x ' V 1 + y ' V 2 + z ' V 3 ,

Então as coordenadas de P no sistema { O ' ,   V 1 ,   V 2 ,   V 3 } são dadas por

P { O ' ,   V 1 ,   V 2 ,   V 3 } = x ' y ' z '

Assim, se O ' P ⃑ = x , y , z , então x ' V 1 + y ' V 2 + z ' V 3 = O ' P ⃑ pode ser escrito como

V 1   V 2   V 3 = x ' y ' z ' = x y z

b) Mostre que as coordenadas de um ponto P no espaço em relação ao sistema { O ' ,   V 1 ,   V 2 ,   V 3 } estão bem definidas, ou seja, x ' ,   y ' e   z ' estão unicamente determinados e são dados por

P { O ' ,   V 1 ,   V 2 , V 3 } = x ' y ' z ' = Q - 1   x y z = Q - 1 p { O ' , i - ,   j - , k - }   .

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Sabendo que,

O ' P ⃑ = x ' V 1 + y ' V 2 + z ' V 3 , com { O ' ,   V 1 ,   V 2 ,   V 3 }

P { O ' ,   V 1 ,   V 2 , V 3 } = x ' y ' z '

Com O ' P ⃑ = x , y , z , e x ' V 1 + y ' V 2 + z ' V 3 = O ' P ⃑

V 1   V 2   V 3 = x ' y ' z ' = x y z

Para mostrar que as coordenadas do ponto P em relação com o sistema { O ' ,   V 1 ,   V 2 ,   V 3 } são dados por,

P { O ' ,   V 1 ,   V 2 , V 3 } = x ' y ' z ' = Q - 1   x y z = Q - 1 p { O ' , i - ,   j - , k - }   .

Ficando,

P O ' ,   V 1 ,     V 2 ,   V 3 ∈ Q - 1 [ P ]

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

P O ' ,   V 1 ,     V 2 ,   V 3 ∈ Q - 1 [ P ]

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 5-8, use a equação da reta dada para encontrar um ponto na reta e um vetor paralelo à reta.5. x = ( 3 - 5 t , - 6 - t )
Mostre queb) R_(theta)^(- 1) = R_- theta .
Seja B uma matriz quadrada 2 × 2 .b) Verifique que B R θ é a matriz obtida girando as linhas de B de - θ .
Definimos coordenadas de pontos no espaço em relação a um sistema de coordenadas determinado por um ponto O ' e três vetores V 1 ,V 2 e V 3 L . I . não necessariamente ortonormais do R 3 da mesma form