Enunciado

Descreva o lugar geométrico dos pontos do plano π que equidistam de A e B e comente as peculiaridades geométricas de cada caso.

c) π : x - 3 y + z = 0                   A = 1 ,   4 ,   0                     B = 3 ,   - 2 ,   2

Passo 1

c) Queremos pontos P = ( x ,   y ,   z ) que tenham a mesma distância até A = 1 ,   4 ,   0 e B = 3 ,   - 2 ,   2 , então:

d P ,   A = d ( P ,   B )

Usando a fórmula de distância entre pontos:

x - 1 2 + y - 4 2 + z - 0 2 = x - 3 2 + y + 2 2 + z - 2 2

Elevando os dois lados ao quadrado:

x - 1 2 + y - 4 2 + z ² = x - 3 2 + y + 2 2 + z - 2 2

Desenvolvendo os produtos notáveis:

x 2 - 2 x + 1 + y 2 - 8 y + 16 + z 2 = x 2 - 6 x + 9 + y 2 + 4 y + 4 + z 2 - 4 z + 4

4 x - 12 y + 4 z = 0

Dividindo tudo por 4:

x - 3 y + z = 0

Passo 2

Temos duas informações sobre nosso lugar geométrico: que x - 3 y + z = 0 (pela equação do plano) e que x - 3 y + z = 0 (pela equação de distância até os pontos).

Opa, a equação da distância até os pontos é a mesma equação do plano!! Olha que demais hahaha isso quer dizer que todos os pontos do plano são equidistante até A e B , então, nosso lugar geométrico é o próprio plano π :)

Resposta

c) É o próprio plano π : x - 3 y + z = 0

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