Enunciado

Desenhe dois vetores não paralelos x → e y → . Em seguida, desenhe A B → = 5 x → , A C → = y → , C D → = 7 x → , E C → = 2 x → - y → e F D → = 2 5 D B → . Escreva E F → em função de x → e y → .

Passo 1

Fala, galera! Tudo beleza? Para resolver essa questão, temos que escolher os vetores x → e y → e, a partir deles, desenhar os outros vetores dados no enunciado. Nós vamos escolher x → como sendo um vetor que forma 45 º com a diagonal e aponta para cima e para a direita e y → como sendo um vetor horizontal que aponta para a direita:

Essa escolha de vetores aqui é bem arbitrária e você pode ficar à vontade para escolher os seus vetores preferidos. O importante é a definição dos demais vetores.

Vamos começar desenhando A B → = 5 x → , A C → = y → :

Passo 2

Agora, desenhamos 2 x → e - y → para obter E C → = 2 x → - y → :

Agora sabemos que E C → = 2 x → - y → é um vetor que faz 45 º com a horizontal e aponta para cima e para a esquerda. Lembrando que isso só vale para os vetores x → e y → que foram definidos lá no Passo 1. O ponto E é de onde o vetor E C → sai até chegar no ponto C. Vamos aproveitar e já desenhar também C D → = 7 x → :

Passo 3

Agora, devemos notar que D B → é o vetor que sai do ponto D ao B. Como F D → = 2 5 D B → , então F D → está na mesma direção de D B → e tem 2 5 do seu tamanho. Aproveitamos também para desenhar o vetor E F → , que é o que devemos calcular em termos de x → e y → . Pela figura abaixo, vemos que

E F → = E C → + C D → + D F → = E C → + C D → - F D →

Nós já sabemos que C D → = 7 x → , E C → = 2 x → - y → . Então, resta determinar F D → . Como F D → = 2 5 D B → , na verdade temos que obter D B → . Pela figura, podemos notar que

D B → = D C → + C A → + A B → = - C D → - A C → + A B → = - 7 x → - y → + 5 x → = - 2 x → - y →

Agora, substituímos em F D → :

F D → = 2 5 D B → = 2 5 ( - 2 x → - y → ) = - 4 5 x → - 2 5 y →

Calma, ainda não acabou. Agora substituímos o resultado anterior e C D → = 7 x → , E C → = 2 x → - y → em

E F → = E C → + C D → - F D → = 2 x → - y → + 7 x → + 4 5 x → + 2 5 y → = ( 2 + 7 + 4 5 ) x → - ( 1 - 2 5 ) y → = 49 5 x → - 3 5 y →

Passo 4

Para confirmar que o resultado está correto, podemos desenhar 49 5 x → e - 3 5 y → e mostrar que a soma desses vetores realmente dá E F → (veja a figura abaixo). Ufa! Chegamos ao fim de mais uma questão, até a próxima!

Resposta

E F → = 49 5 x → - 3 5 y →

Exercícios de Livros Relacionados

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Em um triângulo A B C , o ponto M é tal que 3 B M → = 5 M C → . Escreva o vetor A M → em função dos vetores A B → e A C → :
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A figura ao lado é um cubo e B = ( a → , b → , c → ) é uma base.(a)Demonstre, algebricamente, que C = ( A G → , A F → , A H → ) é uma base.