Lista de Exercícios Resolvidos de Combinação e Dependência Lineares

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Verificar se o conjunto 2 ,   - 1 ,   ( 1 ,   3 ) do R 2 é L I ou L D .

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Sabendo que  u → = ( 2 , γ ,   2 ) , v → = 2 ,   4 ,   5   ,   h → = ( 0 ,   2,3 ) , determine   γ sabendo que   u → ,   v → e   h → estão no mesmo plano.

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Determinar o valor de k  para que o vetor   u → = ( - 1 ,   k ,   - 7 ) seja combinação linear de v 1 → = 1 ,   - 3 ,   2 e   v 2 → = 2 ,   4 ,   - 1 .

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Determine, para cada um dos itens abaixo, se é combinação linear de ( 2,0 ) e ( 0,2 ) :

a   0,0

b   1,0

c   ( 4,6 )

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Prove que, se um conjunto de n vetores for L D , podemos escrever um dos vetores como combinação linear dos demais.

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Determinar o valor de k para que o conjunto 1 ,   0 ,   - 1 ,   1 ,   1 ,     0 ,   ( k ,   1   , - 1 ) seja L I .

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Escreva o vetor 0 ∈ R 2 como combinação linear dos vetores

a   v 1 = 1,3 e v 2 = 2,6

b   v 1 = ( 1,3 ) e v 2 = ( 2,5 )

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Consideremos no R 3 os seguintes vetores:   v 1 → = 1 ,   - 3 ,   2 e   v 2 → = 2 ,   4 ,   - 1

  1. Escrever o vetor   v → = ( - 4 ,   - 18 ,   7 ) como combinação linear de   v 1 → e   v 2 →
  2. Mostrar que o vetor   v → = ( 4 ,   3 ,   - 6 ) não é combinação linear de   v 1 → e   v 2   →

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Quais dos seguintes conjuntos de vetores em R 3 são linearmente dependentes?

(a) 4 ,   2 ,   2 ,   ( - 4 ,   10 ,   1 )

(b) - 3 ,   0 ,   4 ,   5 ,   - 1 ,   2 ,   ( 1 ,   1 ,   3 )

(c) 1 ,   2 ,   3 ,   1 ,   4 ,   5 ,   0 ,   6 ,   2 ,   ( 0 ,   2 ,   1 )

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Se 0 u 1 + 2 u 2 - 3 u 3 = 0 então, necessariamente:

(I) O conjunto u 2 ,   u 3 é linearmente dependente.

(II) u 1 não pertence ao conjunto gerado por u 2 e u 3 .

(a) I é verdadeira e II é verdadeira.

(b) I é falsa e II é verdadeira.

(c) I é falsa e II é falsa.

(d) I é verdadeira e II é falsa.

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Seja { u → ,   v → } um conjunto linearmente independente e w → uma combinação linear de u → e v → .

(I) w → ,   u → e w → ,   v →   não podem ser ambos linearmente independentes.

(II) w → ,   u → e w → ,   v →   podem ser ambos linearmente dependentes.

(a) I é verdadeira e II é falsa

(b) Ambas são verdadeiras

(c) I é falsa e II é verdadeira

(d) Ambas são falsas

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Considere três pontos não colineares A , B e C , o ponto médio do segmento A B , M , o ponto médio do segmento A C , N , e o ponto comum aos segmentos B N e C M , H .

a) Escreva C M → como combinação linear de C A → e C B → .

b) Escreva B N → como combinação linear de C A → e C B → .

c) Mostre que C H → = 2 3 C M → e B H → = 2 3 B N → .

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São dados três pontos não colineares A , B e C e, sobre o segmento A C o ponto Q tal que 3 A Q → = 2 A C → . Escreva B Q → como combinação linear de B C → e B A → .

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