Enunciado

Determinar o ângulo α formado pelos vetores v e T ( v ) quando o espaço gira em torno do eixo dos z de um ângulo θ , no seguintes casos.

v = 2 2 , 2 2 ,   1         e         θ = 180 °

Passo 1

Queremos o ângulo entre os vetores v e T ( v ) , onde T é a rotação em torno do eixo z :

T = cos ⁡ θ - s e n   θ 0 s e n   θ cos ⁡ θ 0 0 0 1

Neste caso, θ = 180 ° , de modo que

- 1 0 0 0 - 1 0 0 0 1 ⋅ 2 2 2 2 1 = - 2 2 - 2 2 1

Assim,

T v = - 2 2 , - 2 2 ,   1

Passo 2

Para acharmos o ângulo entre v e T ( v ) :

cos ⁡ α = v ⋅ T v v T v

Neste caso,

v = T v = 1 2 + 1 2 + 1 = 2

Além disso,

v ⋅ T v = - 1 2 - 1 2 + 1 = 0

Portanto,

cos ⁡ α = 0

Logo,

α = 90 °

Resposta

α = 90 °

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determinar, em cada caso, a matriz da transformação linear de R 2 em R 2 que representa a sequência de transformações dadas.Reflexão em torno do eixo dos y , seguida de um cisalhamento de fator 5 na d
Determinar o ângulo α formado pelos vetores v e T ( v ) quando o espaço gira em torno do eixo dos z de um ângulo θ , no seguintes casos. v = 3 2 2 , 2 4 , 2 2 e θ = 180 °
Em um triângulo A B C , os ângulos B e C medem 75 ° cada. Sendo A ( 1 ,1 ) e B ( - 1 ,5 ) , determinar o vértice C .
Determinar, em cada caso, a matriz da transformação linear de R 2 em R 2 que representa a sequência de transformações dadas.Reflexão em torno da reta y = - x , seguida de uma dilatação de fator 2 na d