Enunciado

Em um triângulo A B C , os ângulos B e C medem 75 ° cada. Sendo A ( 1 ,   1 ) e B ( - 1 ,   5 ) , determinar o vértice C .

Passo 1

O problema forneceu dois vértices A ( 1 ,   1 ) e B ( - 1 ,   5 ) de um triângulo isósceles com os ângulos B e C medindo 75 ° . Vemos então que o ângulo A mede 30 ° e que os lados A B e A C são iguais!

Se rotacionar o vetor A B → = - 1 ,   5 - 1 ,   1 = ( - 2 ,   4 ) em 30 ° , obtemos o vetor   A C → :

cos ⁡ 30 ° - s e n   30 ° s e n   30 ° cos ⁡ 30 ° ⋅ - 2 4 = 1 2 3 - 1 1 3 ⋅ - 2 4 = - 3 - 2 - 1 + 2 3

Assim,

C - A = ( - 3 - 2 , - 1 + 2 3 )

Logo,

C = 1 ,   1 + - 3 - 2 , - 1 + 2 3

Portanto,

C - 3 - 1 ,   2 3

Passo 2

Podemos obter outra solução para o problema efetuando as rotações no sentido contrário, com θ = - 3 0 ° :

cos ⁡ 30 ° s e n   30 ° - s e n   30 ° cos ⁡ 30 ° ⋅ - 2 4 = 1 2 3 1 - 1 3 ⋅ - 2 4 = - 3 + 2 1 + 2 3

Assim,

C = 1 ,   1 + - 3 + 2 ,   1 + 2 3

Portanto,

C - 3 + 3 ,   2 + 2 3

Resposta

C - 3 - 1 ,   2 3         o u       C - 3 + 3 ,   2 + 2 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Os pontos A ( 2 , - 1 ) e B ( - 1 ,4 ) são vértices consecutivos de um quadrado. Calcular os outros dois vértices, utilizando a matriz-rotação.
Determinar o ângulo α formado pelos vetores v e T ( v ) quando o espaço gira em torno do eixo dos z de um ângulo θ , no seguintes casos. v = 3 2 2 , 2 4 , 2 2 e θ = 6 0 °
O vetor v = ( 3 ,2 ) experimenta sequencialmente:1) Uma reflexão em torno da reta y = x ;2) Um cisalhamento horizontal da fetor 2 ;3) Uma contração na direção O y de fator 1 3 ;4) Uma rotação de 90 °
Engenheiros projetam um sistema por meio do qual uma massa m em queda livre imprime energia cinética a um tambor uniforme em rotação, ao qual a massa está presa por um cabo delgado e leve, enrolado em
a) Mostre que X = ( x , y ) é ortogonal a V = a , b ≠ 0 com X = | | V | | se, e somente se, X = - b , ao uX = ( b , - a .(b) Mostre que se A e uma matriz ortogonal 2x2 , então existe um número real θ