Enunciado

Determinar uma base de R 4 que contenha os seguintes vetores 1 ,   1 ,   1 ,   0 ,   1 ,   1 ,   2 ,   1 .

Passo 1

Show de buelas pessoal, como queremos uma base de R 4 , quer dizer que precisamos de 4 vetores na base. Já temos dois vetores, 1 ,   1 ,   1 ,   0   e   1 ,   1 ,   2 ,   1 então precisamos encontrar mais outros 2 vetores que sejam L.I em relação aos dois já existentes. Pra isso, bora montar uma matriz com esses vetores e encontrar a solução desse sistema.

Passo 2

A matriz é dada por

1 1 1 0 1 1 2 1

Escalonando

1 1 1 0 1 1 2 1 ⇒   L 2 = L 2 - L 1 = 1 1 1 0 0 0 1 1

Da segunda linha a gente tira que

z + t = 0

z = - t

E substituindo na primeira

x + y + z + 0 t = 0 ⇒ x + y - t = 0

x = t - y

Logo podemos escrever ( x ,   y ,   z ,   t ) como ( t - y ,   y ,   - t ,   t )

t - y ,   y ,   - t ,   t = t ,   0 ,   - t ,   t + - y ,   y ,   0 ,   0 = 1 ,   0 ,   - 1 ,   1 t + - 1 ,   1 ,   0 ,   0 y

Portanto um dos conjunto possíveis que podemos montar com os vetores 1 ,   1 ,   1 ,   0 ,   1 ,   1 ,   2 ,   1 para gerarmos R 4 é { 1 ,   1 ,   1 ,   0 ,   1 ,   1 ,   2 ,   1 ,   1 ,   0 ,   - 1 ,   1 ,   - 1 ,   1 ,   0 ,   0 } .

Resposta

1 ,   1 ,   1 ,   0 ,   1 ,   1 ,   2 ,   1 ,   1 ,   0 ,   - 1 ,   1 ,   - 1 ,   1 ,   0 ,   0 }

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