Lista de Exercícios Resolvidos de Base e Dimensão

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Determine o valor de m para que o conjunto B forme uma base para M 2 x 2 ( R ) .

B = 2 0 0 2 ,   0 3 0 0 ,   0 1 m 0 ,   0 0 0 1

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Determine as dimensões dos seguintes subespaços de R 4 .

  1. todos os vetores da forma ( a ,   b ,   c ,   0 )
  2. todos os vetores da forma a , b ,   c ,   d , onde d = a + b e c = a - b
  3. todos os vetores da forma a ,   b ,   c ,   d , onde a = b = c = d

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Determine a dimensão do conjunto abaixo:

( 1 ,   - 1 ,   1 ,   - 2 ) , ( 1 ,   0 ,   3 ,   - 1 ) , ( 1 ,   - 1 ,   0 ,   - 5 ) , ( 1 ,   0 ,   4 ,   2 )

(a) 3

(b) 4

(c) 1

(d) 2  

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Assinale o vetor que adicionado ao conjunto { ( 1,2 , 3 ) , ( 2,4 , 9 ) } forma uma base para o R 3 :

(a) ( 0 ,   0 ,   6 )

(b) ( 3 ,   6 ,   12 )

(c) ( 6 ,   - 3 ,   0 )

(d) ( 1 ,   2 ,   6 )

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Os vetores x 1 = 1 2 2 , x 2 = 2 5 4 , x 3 = 1 3 2 , x 4 = 2 7 4 , x 5 = 1 1 0 geram R 3 .

Retire algum (ou alguns) elementos de { x 1 ,   x 2 ,   x 3 ,   x 4 ,   x 5 } de modo a obter uma base para R 3 .

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Encontre uma base para o subespaço S de R 4 consistindo em todos os vetores da forma ( a + b ,   a - b + 2 c ,   b ,   c ) , nos quais a , b e c são números reais. Qual é a dimensão de S ?

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Assinale a alternativa CORRETA:

( a ) 1,0 , 1,1 , 1 , - 1 não é um conjunto gerador de R 2

( b ) 1,0 , 0,1 e 1,1 , 1 , - 1 são bases de R 2

( c ) 1,1 , 1 , 2,2 , 2 , 3,3 , 3 é um conjunto gerador de R 3

( d ) 1,2 , 3 , 4,5 , 6 , 7,8 , 9 é uma base de R 3

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Determinar uma base do subespaço do R 4 gerado pelos vetores v 1 = 1 , - 1,0 , 0 ,     v 2 = - 2,2 , 2,1 ,   v 3 =   ( - 1,1 , 2,1 ) e v 4 = ( 0,0 , 4,2 )

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