Enunciado

Determinar o valor próprio e o vetor próprio da seguinte transformação linear:

T :   R 3 → R 3 ,   T x ,   y , z = ( x + y ,   y ,   z )

Passo 1

Bora pra última dessa questão! Pra calcular vetores e valores próprios de uma transformação, o primeiro passo é escrever a matriz da forma canônica. A gente monta essa matriz pegando as componentes da transformação e botando nas linhas da matriz, com os coeficientes de x , y e z nas colunas. A matriz da nossa transformação é:

M = 1 1 0 0 1 0 0 0 1

Em seguida, a gente usa o fato de que M v = λ v . Arrumando, a equação, vamos obter:

M v = λ v

M - λ I v = 0

det ⁡ M - λ I = 0

Então é isso, pra achar os valores próprios a gente vai encontrar os valores de λ nessa equação. Por fim, a gente usa que M v = λ v de novo, pra encontrar os vetores próprios.

Passo 2

Bora pra conta!

det ⁡ M - λ I = 1 - λ 1 0 0 1 - λ 0 0 0 1 - λ

1 - λ 1 0 0 1 - λ 0 0 0 1 - λ = 0

Expandindo o determinante pela primeira coluna:

1 - λ 1 - λ 0 0 1 - λ = 0

1 - λ ( 1 - λ ) ( 1 - λ ) = 0

Nós temos então três valores próprios iguais, olha só que loucura: λ 1 = λ 2 = λ 3 = 1 .

Passo 3

Agora vamos encontrar os vetores próprios: é só a gente substituir o valor de λ que encontramos na equação M - λ I v = 0 . Só precisamos substituir λ = 1 , que beleza!

M - 1 I v = 1 - 1 1 0 0 1 - 1 0 0 0 1 - 1 x y z = 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0 0 0 x y z = 0 0 0

Daqui obtemos y = 0 e tanto x quanto y ficam livres! Por isso, os vetores próprios são da forma v = ( x ,   0 ,   z ) . Só presta atenção porque x = z = 0 não serve!

Resposta

λ 1 = λ 2 = λ 3 = 1 : v = x ,   0 ,   z ≠ ( 0 ,   0 ,   0 )

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