Enunciado

Determinar o valor próprio e o vetor próprio da seguinte transformação linear:

T :   R 3 → R 3 ,   T x ,   y , z = ( x ,   - 2 x - y ,   2 x + y + 2 z )

Passo 1

Partiu? Pra calcular vetores e valores próprios de uma transformação, o primeiro passo é escrever a matriz da forma canônica. A gente monta essa matriz pegando as componentes da transformação e botando nas linhas da matriz, com os coeficientes de x , y e z nas colunas. A matriz da nossa transformação é:

M = 1 0 0 - 2 - 1 0 2 1 2

Em seguida, a gente usa o fato de que M v = λ v . Arrumando, a equação, vamos obter:

M v = λ v

M - λ I v = 0

det ⁡ M - λ I = 0

Então é isso, pra achar os valores próprios a gente vai encontrar os valores de λ nessa equação. Por fim, a gente usa que M v = λ v de novo, pra encontrar os vetores próprios.

Passo 2

Bora pra conta!

det ⁡ M - λ I = 1 - λ 0 0 - 2 - 1 - λ 0 2 1 2 - λ

1 - λ 0 0 - 2 - 1 - λ 0 2 1 2 - λ = 0

Expandindo o determinante pela primeira linha:

1 - λ 1 - λ 0 1 2 - λ = 0

1 - λ ( - 1 - λ ) ( 2 - λ ) = 0

Nós temos então três valores próprios: λ 1 = 1 , λ 2 = - 1 e λ 3 = 2 .

Passo 3

Agora vamos encontrar os vetores próprios: é só a gente substituir o valor de λ que encontramos na equação M - λ I v = 0 . Primeiro vamos ver λ 1 = 1 :

M - 1 I v = 1 - 1 0 0 - 2 - 1 - 1 0 2 1 2 - 1 x y z = 0 0 0

0 0 0 - 2 - 2 0 2 1 1 x y z = 0 0 0

Multiplicando vamos obter um sistema:

- 2 x - 2 y = 0 2 x + y + z = 0

Da primeira, encontramos x = - y . Substituindo na segunda, vai ficar:

2 - y + y + z = 0

z = y

Então, os vetores v = - y , y ,   y são os vetores próprios associados a λ = 1 .

Passo 4

Agora λ = - 1 :

M + I v = 1 - - 1 0 0 - 2 - 1 - ( - 1 ) 0 2 1 2 - ( - 1 ) x y z = 0 0 0

2 0 0 - 2 0 0 2 1 3 x y z = 0 0 0

Isso vai nos dar um sisteminha:

2 x = 0 2 x + y + 3 z = 0

Da primeira equação, x = 0 , e da segunda, y = - 3 z . Daí, os vetores próprios associados a λ = - 1 são da forma v = ( 0 ,   - 3 z ,   z ) .

Passo 5

Falta só λ = 2 :

M - 2 I v = 1 - 2 0 0 - 2 - 1 - 2 0 2 1 2 - 2 x y z = 0 0 0

- 1 0 0 - 2 - 3 0 2 1 0 x y z = 0 0 0

Vamos ficar com:

- x = 0 - 2 x - 3 y = 0 2 x + y = 0

Encontramos x = y = 0 , mas z ainda está livre. Então os vetores próprios de λ = 2 são da forma v = ( 0 ,   0 ,   z ) .

Resposta

λ 1 = 1 : v = - y ,   y ,   y

λ 2 = - 1 : v = ( 0 ,   - 3 z ,   z )

λ 3 = 2 : v = ( 0 ,   0 ,   z )

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