Enunciado

Calcular o valor próprio e o correspondente vetor próprio da seguinte matriz:

A = 3 3 - 2 0 - 1 0 8 6 - 5

Passo 1

Pra encontrar os valores próprios e os vetores próprios, vamos usar a fórmula que diz que A v = λ v . Arrumando, a equação, vamos obter:

A v = λ v

A - λ I v = 0

det ⁡ A - λ I = 0

Então é isso, pra achar os valores próprios a gente vai encontrar os valores de λ nessa equação. Por fim, a gente usa que M v = λ v de novo, pra encontrar os vetores próprios.

Passo 2

Bora pra conta!

det ⁡ A - λ I = 3 - λ 3 - 2 0 - 1 - λ 0 8 6 - 5 - λ

3 - λ 3 - 2 0 - 1 - λ 0 8 6 - 5 - λ = 0

Expandindo pela segunda linha::

- 1 - λ 3 - λ - 2 8 - 5 - λ = 0

Desenvolvendo:

- 1 - λ 3 - λ - 5 - λ + 16 = 0

- 1 - λ λ 2 + 2 λ - 15 + 16 = 0

- 1 - λ λ 2 + 2 λ + 1 = 0

Fatorando, encontramos:

λ + 1 3 = 0

Por isso, os três valores próprios são iguais a - 1 .

Passo 3

Agora vamos encontrar os vetores próprios: é só a gente substituir o valor de λ que encontramos na equação A - λ I v = 0 . Substituindo λ = - 1 :

A + I v = 3 + 1 3 - 2 0 - 1 + 1 0 8 6 - 5 + 1 x y z = 0 0 0

4 3 - 2 0 0 0 8 6 - 4 x y z = 0 0 0

Multiplicando, vamos obter equações equivalentes a:

4 x + 3 y - 2 z = 0

z = 4 x + 3 y 2

Então os vetores próprios são da forma v = x ,   y , 4 x + 3 y 2

Resposta

λ = - 1 :   v = x ,   y , 4 x + 3 y 2

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