Enunciado

Determine uma base para o plano a x + b y + c z   =   0 no caso em que b ≠ 0 e no caso em que c ≠ 0 .

Passo 1

Eaew, como vai?

Olha só, encontrar uma base para um conjunto solução, significa encontrar um conjunto de vetores L.I. que possa, sob a escolha de parâmetros multiplicativos, montar toda e qualquer solução. Nós temos neste caso a seguinte construção:

W   =   { ( x , y , z ) ∈ R 3 |   a x + b y + c z = 0 }

Ou seja, temos apenas uma equação de vínculo, e três parâmetros x , y   e   z , desta forma temos que apenas um deles estará determinado em termos dos outros dois, beleza? Como aqui temos que b ≠ 0 (depois faremos para c ≠ 0 ) temos que é conveniente estabelecer que os parâmetros livres serão x = α e z   =   β . Vamos utilizar isso para achar a nossa base!

Passo 2

De nossa equação de vínculo (ou equação do plano, não importa) temos:

a α + b y + c β = 0 → b y = - a α - c β → y   =   - a b α - c b β

ou seja, temos que ( x , y , z ) = ( α , - a b α - c b β , β ) . Vamos reescrever isso um pouquinho!

Passo 3

Podemos expandir ( x , y , z ) como soma de termos independentes para cada parâmetro livre, saca só:

( x , y , z ) = ( α , - a b α - c b β , β ) = α ( 1 , - a b , 0 ) + β ( 0 , - c b , 1 )

Em que podemos identificar V 1 = ( 1 , - a b , 0 ) e V 2 = ( 0 , - c b , 1 ) como a base de nosso sistema! Vamos fazer o mesmo agora para o caso em que c ≠ 0 , beleza?

Passo 4

Como agora temos que c ≠ 0 , vamos estabelecer nossos parâmetros livres como x = α e y = β . E desta maneira temos que z = - a c α - b c β , e temos que ( x , y , z ) = ( α , β , - a c α - b c β ) . Analogamente ao que fizemos anteriormente temos:

( x , y , z ) = α ( 1,0 , - a c ) + β ( 0,1 , - b c )

E nossa base é tal que V 1 = ( 1,0 , - a c ) e V 2 = ( 0,1 , - b c ) . A questão foi isso, te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

V 1 = ( 1 , - a b , 0 ) e V 2 = ( 0 , - c b , 1 ) se b ≠ 0 ; e V 1 = ( 1,0 , - a c ) e V 2 = ( 0,1 , - b c ) se c ≠ 0 .

Exercícios de Livros Relacionados

Determinar o subespaço do R^3 gerado pelo conjunto:A = { (2 , - 1 , 3) }
Determinar o subespaço do R 3 gerado pelo seguinte conjunto: { 1 ,2 ,- 1 ,- 1 ,1 ,0 ,- 3 ,0 ,1 ,- 2 ,- 1 ,1 }
Determinar o subespaço do R 3 gerado pelo seguinte conjunto: { 1 ,2 ,- 1 ,- 1 ,1 ,0 ,0 ,0 ,2 ,- 2 ,1 ,0 }
Determinar o subespaço do R 3 gerado pelo seguinte conjunto: { - 1 ,1 ,0 ,0 ,1 ,- 2 ,( - 2 ,3 ,1 ) }
Sendo v_1 = (1 , 2) in R^2 , determinar v_2 in R^2 tal que { v_1 , v_2 } seja base de R^2 .