Enunciado

Determine as cônicas representadas pelas equações abaixo, encontrando também seus focos, diretrizes e excentricidade.

x = 4 y 2 - 16 y + 16

Passo 1

Temos um termo linear de y na nossa equação, precisamos completar o quadrado e ficar com algo do tipo y 2 - 2 y o y + y o 2 que podemos reescrever como y - y o 2 e teremos uma cônica de origem 0 ,   y o . Vamos começar colocando 4 em evidência e ir fazendo uma álgebra pra chegar no que queremos.

4 y 2 - 4 y + 4 - x = 0

Repare que já está na forma que queremos! y o = 2 . Dando uma ajeitada:

y - 2 2 = x 4

Temos uma parábola que cresce na direção do eixo x e está deslocada no eixo y . Temos também que 4 a = 1 4 → a = 1 16 . Como a > 0 , a parábola cresce na direção positiva de x .

Passo 2

Seu gráfico é o seguinte:

Passo 3

Seu foco é em a ,   y o , ou seja:

F = 1 16 ,   2

Sua diretriz é a reta y = - 2 .

Lembre-se que o conceito de excentricidade não se aplica à parábola!

Resposta

F = 1 16 ,   2

y = - 2

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