Enunciado

Determine quais das seguintes funções são aplicações lineares:

  1. f : R 2 → R 2
  2. ( x , y ) → x + y , x - y

  3. g : R 2 → R
  4. ( x , y ) → x y

  5. h : M 2 → R
  6. a c       b d → det ⁡ a c       b d

  7. k : P 2 → P 3
  8. a x 2 + b x + c → a x 3 + b x 2 + c x

  9. M : R 3 → R 2
  10. ( x , y , z ) → x , y , z 1 0 1       2 - 1 1

  11. N : R → R

x → | x |

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Item e):

Para ser transformação linear, temos que atender dois requisitos:

i )   T v + u = T v + T u

i i )   T k v = k T ( v )

Vamos aplicar ao problema. A lei para este problema é:

  N : R → R

x → | x |

N x = | x |

Vamos considerar um u e um v de tal forma que respeitem a lei:

  u = x 1 → | x 1 | v = x 2 → | x 2 |

Ou seja:

T u = N x 1 = x 1

T v = N x 2 = | x 2 |

Passo 2

Vamos aplicar a soma:

T u + v = N x 1 + x 2

T u + v = N x 1 + N x 2

Aplicando a transformação teremos:

T u + v = x 1 + x 2

Ou seja:

N x 1 + x 2 ≠ N x 1 + N x 2

x 1 + x 2 ≠ x 1 + x 2

Fazendo uma análise rápida, é possível concluir que x 1 + x 2 ≤ x 1 + | x 2 | . Ou seja, nem sempre são iguais. Portanto N não é Transformação Linear.

Resposta

f) Não é transformação linear.

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Qual é a transformação linear T : R 2 → R 3 tal que T 1,1 = ( 3,2 , 1 ) e T 0 , - 2 = 0,1 , 0 ?Ache T ( 1,0 ) e T ( 0,1 ) .Qual é a transformação linear S : R 3 → R 2 tal que S 3,2 , 1 = ( 1,1 ) , S 0
Determine quais das seguintes funções são aplicações lineares: f : R 2 → R 2 ( x , y ) → x + y , x - y g : R 2 → R ( x , y ) → x y h : M 2 → R a cb d → det ⁡ a cb d k : P 2 → P 3 a x 2 + b x + c → a x
Seja L : R 3 → R 3 onde L é a reflexão através do plano 3 x + 2 y + z = 0 .Encontre L ( x , y , z ) .Encontre uma base ordenada γ de R 3 , tal que T γ γ = 1 0 00 1 00 0 - 1
Sejam S e T aplicações lineares de V em W . Definimos S + T como S + T v = S v + T ( v ) para todo v ∈ V e definimos α S como α S v = α ⋅ S v para todo α ∈ R e v ∈ V .Mostre que S + T é uma transforma