Enunciado

A distância entre uma reta r que passa por um ponto P 0 = ( x 0 , y 0 , z 0 ) e tem vetor diretor V = ( a r , b r , c r ) e um plano π : a π x + b π y + c π z + d π = 0 é definida como a menor distância entre dois pontos um de r e outro de π . Se o vetor da reta r , V = ( a r , b r , c r ) , não é ortogonal ao vetor normal do plano π , N = ( a π , b π , c π ) , então a reta e o plano são concorrentes e a distância entre eles é igual à zero, caso contrário a distância é igual de um ponto da reta r ao plano π . Mostre que

d i s t r , π = a π x 0 + b π y 0 + c π z 0 + d π a π 2 + b π 2 + c π 2 ,   s e   V ⋅ N = 0     0 ,                                                                                     c a s o   c o n t r á r i o      

Passo 1

Eaew, belezinha? Vamos começar mais uma!

Aqui o ponto chave é analisar que se não existe ortogonalidade entre o vetor diretor de uma reta e o vetor normal de um plano, a reta cruza o plano necessariamente, e, portanto, a distância é nula nesta condição. Saca só o seguinte esquema:

Agora, no entanto, se θ = π 2 , temos que a reta r é paralela ao plano π . O processo para calcular a distância então é feito de outra maneira, saca só!

Passo 2

Vamos lembrar aqui que para calcular a distância entre um ponto e um plano, temos que:

Sejam P 0 = ( x 0 , y 0 , z 0 ) um ponto que passa pela reta r e π : a x + b y + c z + d = 0 um plano. A distância de P 0 a π é dada por

d i s t P 0 , π = p r o j N   P 1 P 0 → = P 1 P 0 → ⋅ N N

Em que N = ( a , b , c ) e P 1 = ( x 1 , y 1 , z 1 ) é um ponto de π (isto é, um ponto que satisfaz a equação de π ).

Vamos tentar utilizar tudo isso para resolver a questão! Bora lá!

Passo 3

A primeira coisa que podemos fazer é identificar que temos um vetor normal N = ( a , b , c ) e sua norma é tal que:

N = a 2 + b 2 + c 2

Beleza, até aqui tudo bem! Agora, no entanto, precisamos de um ponto que pertença ao plano! Saca só como podemos achar ele!

Passo 4

Se colocarmos y = z = 0 , temos que

a x = - d → x = - d a

Portanto, um ponto que pertence ao plano é tal que:

P 1 = ( - d a , 0,0 )

Agora vamos escrever o vetor P 1 P 0 → !!

Passo 5

Temos que:

P 1 P 0 → = x 0 - x 1 , y 0 - y 1 , z 0 - z 1 = ( x 0 + d a , y 0 , z 0 )

De forma, que:

P 1 P 0 → ⋅ N = x 0 + d a a + y 0 b + z 0 c = a x 0 + b y 0 + c z 0 + d

Ou seja, temos que:

d i s t P 0 , π = a x 0 + b y 0 + c z 0 + d a 2 + b 2 + c 2

Resumindo então os resultados, temos que:

d i s t r , π = a π x 0 + b π y 0 + c π z 0 + d π a π 2 + b π 2 + c π 2 ,   s e   V ⋅ N = 0     0 ,                                                                                     c a s o   c o n t r á r i o      

A questão é isso, te vejo na próxima!! Tchauzinho!

Resposta

Ao longo dos passos!

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre o ângulo entre o plano 2x – y + z = 0 e o plano que passa pelo ponto P = (1, 2, 3) e é perpendicular ao vetor i → - 2 j → + k → .
Seja π o plano que passa pela origem e é perpendicular à reta que une os pontos A = (1, 0, 0) e B = (0, 1, 0). Encontre a distância do ponto C = (1, 0, 1) ao plano π .
Determine os planos que contém a reta r :x - 2 y + 2 z = 0 3 x - 5 y + 7 z = 0 E formam com o plano π 1 : x + z = 0 um ângulo de 60°.
e) Qual o ângulo entre os planos pi_1 e pi_2 ?
g) Qual a área do triângulo ABC?