Enunciado

Encontrar equações paramétricas da reta r que passa por A , é paralela ao plano π e concorrente com a reta s , nos casos:

A 2,1 , - 4 , π : x - y + 3 z - 5 = 0 , s : x = 1 + 3 t , y = 3 - t , z = - 2 - 2 t

Determinar ainda o ponto de interseção entre r e s .

Passo 1

Vamos lá, primeiro vamos ver como é o formato das equações paramétricas da reta:

x = x 1 + a t y = y 1 + b t z = z 1 + c t

Aqui temos que o ponto A x 1 , y 1 , z 1 é um ponto que passa pela reta e v → = a , b , c um vetor direção da reta.

Aqui podemos achar o ponto A bem simples, é só usar o ponto da origem A 2,1 , - 4 , já que a reta passa por ele:

x = x 1 + a t y = y 1 + b t z = z 1 + c t → x = 2 + a t y = 1 + b t z = - 4 + c t

Falta então encontrar os valores a , b e c do vetor diretor u → = a , b , c da reta, vamos lá!!

Passo 2

Agora vamos encontrar um plano que é paralela ao plano π e que contem a reta r , que vai ser da forma:

π 1 : x - y + 3 z + d = 0

Se esse plano contém a reta r então ele contém o ponto A 2,1 , - 4 que passa pela reta. Vamos então substituir esse ponto na equação do plano, e assim encontramos o valor de d que falta no plano:

x - y + 3 z + d = 0 → 2 - 1 + 3 ⋅ - 4 + d = 0 → 2 - 1 - 12 + d = 0 → d = 11

Temos então o plano π 1 que possui a reta r como:

π 1 : x - y + 3 z + 11 = 0

Passo 3

Agora como s é concorrente com a reta r , eles têm um ponto em comum, e como r pertence a π 1 a reta s também tem um ponto em comum com π 1 , assim vamos substituir a reta s no plano π 1 para achar o valor de t , assim podemos encontrar o ponto de intersecção de r com s :

s : x = 1 + 3 t y = 3 - t z = - 2 - 2 t

π 1 : x - y + 3 z + 11 = 0

Pronto, vamos substituir:

x - y + 3 z + 11 = 0 → 1 + 3 t - 3 - t + 3 - 2 - 2 t + 11 = 0 →

→ 1 + 3 t - 3 + t - 6 - 6 t + 11 = 0 → - 2 t + 3 = 0 → t = 3 2

Agora podemos encontrar o ponto de interseção de r com s :

x = 1 + 3 t = 1 + 3 ⋅ 3 2 = 1 + 9 2 = 2 + 9 2 = 11 2

y = 3 - t = 3 - 3 2 = 6 - 3 2 = 3 2

z = - 2 - 2 ⋅ 3 2 = - 2 - 3 = - 5

Achamos o ponto B 11 2 , 3 2 , - 5 que pertence à reta r , e agora podemos então encontrar os valores a , b e c do vetor diretor u → = a , b , c da reta r , usando também o ponto A 2,1 , - 4 da seguinte forma:

v → = A B → = B - A = 11 2 , 3 2 , - 5 - 2,1 , - 4 = 11 2 - 2 , 3 2 - 1 , - 5 + 4 =

= 11 - 4 2 , 3 - 2 2 , - 1 = 7 2 , 1 2 , - 1

Passo 4

Pronto, agora que temos o vetor diretor u → = 7 2 , 1 2 , - 1 é só substituir na equação da reta e tudo resolvido:

x = 2 + a t y = 1 + b t z = - 4 + c t → x = 2 + 7 2 t y = 1 + t 2 z = - 4 - t

Temos que a reta que passa por A , é paralela ao plano π e concorrente com a reta s é:

x = 2 + 7 2 t y = 1 + t 2 z = - 4 - t

Resposta

x = 2 + 7 2 t y = 1 + t 2 z = - 4 - t e 11 2 , 3 2 , - 5

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