Enunciado

Encontrar equações paramétricas da reta que passa por A e é, simultaneamente, ortogonal às retas r 1 e r 2 , nos casos:

a) A 3,2 , - 1 r 1 : x = 3 y = - 1 e r 2 : y = x - 3 z = - 2 x + 3

b) A 0,0 , 0 r 1 : x 2 = y 1 = z 3 e r 2 : x = 3 t y = - t + 1 z = 2

c) A é intersecção de r 1 e r 2 :

r 1 : x - 2 = y + 1 2 = z 3 e r 2 : x = 1 - y z = 2 + 2 y

Passo 1

E aí? Bora matar mais essa?

Vamos começar determinando os vetores das duas retas.

O vetor será formado pelos coeficientes de t , para reta 1 , temos:

0 , 0 , 1

Obs. Como não temos um valor ou uma equação para y , dizemos que y = y , e igualando a t , temos que o coeficiente será 1 .

Para reta 2 , vamos isolar x em ambas as equações:

y = x - 3 z = - 2 x + 3

x = y + 3 - 2 x = z - 3

x = z - 3 - 2

Agora vamos igualar a t , separar três equações, e isolar x , y , z :

x = y + 3 1 = z - 3 - 2 = t

x = t y + 3 1 = t z - 3 - 2 = t

y + 3 = t z - 3 = - 2 t

y = t - 3 z = - 2 t + 3

Temos como vetor da reta 1 :

1 , 1 , - 2

Molezinha, não?

Passo 2

Como as retas são ortogonais, fazer o produto vetorial:

0,0 , 1 × 1,1 , - 2 = i j k 0 0 1 1 1 - 2

Para calcular o determinante de uma matriz 3 × 3 vamos primeiro repetir os termos da primeira e segunda coluna, e depois multiplicar os elementos da diagonal principar e fazer a subtração dos elementos da matriz secundária:

i j k 0 0 1 1 1 - 2 i j 0 0 1 1 = 0 + j + 0 - i = j - i

Vamos escrever como vetor:

- 1,1 , 0

Passo 3

Agora vamos pegar o vetor A e somar pelo resultado da multiplicação do novo vetor por t:

x , y , z = 3,2 , - 1 + - 1,1 , 0 ∙ t

x , y , z = 3 - t , 2 + t , - 1

Bora escrever na forma paramétrica:

x = 3 - t y = 2 + t z = - 1

Mandamos bem!!!

Bora para outra?

Resposta

x = 3 - t y = 2 + t z = - 1

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