Calcular o valor de
m
para que os seguintes pares de retas sejam paralelas:
r : x = - 3 t y = 3 + t z = 4
e
s : x + 5 6 = y - 1 m : z = 6
r : x = 2 - 3 t y = 3 z = m t
e
s : x - 4 6 = z - 1 5 : y = 7
Ver solução completa Ache equações paramétricas da reta
r
que passa por
P = ( - 1 , 3 , 1 )
e é perpendicular à reta
s : x - 1 2 = y - 1 3 = z
Ver solução completa Estude a posição relativa das retas:
r 1 : x - 2 2 = y 3 = z - 5 4
e
r 2 : x + 5 - 1 = y + 3 = z - 6 3
Ver solução completa Verifique se as retas
r : X = 1,1 , 1 + λ 2 , 1 , - 3 ( λ ∈ R )
s : X = 0 , 1 , 0 + α - 1 , 2 , 0 ( α ∈ R )
são ortogonais. Verifique também se são perpendiculares.
Ver solução completa Mostre que as retas abaixo são concorrentes e determine o ponto de interseção entre elas.
r 1 : x - 2 2 = y 3 = z - 5 4
e
r 2 : x = 5 + t y = 2 - t z = 7 - 2 t
Ver solução completa Sejam
r
e
s
as retas reversas, passando por
A
e
B
e por
C
e
D
respectivamente. Obtenha uma equação vetorial da reta
t
, concorrente com
r
e
s
, e paralela ao vetor
v → = ( 1 , - 5 , - 1 )
.
Dados:
A = 0 , 1 , 0 , B = 1 , 1 , 0 , C = - 3 , 1 , - 4
e
D = ( - 1 , 2 , - 7 )
.
Ver solução completa Estude a posição relativa das retas
r : X = 1 , 2 , 3 + λ ( 0 , 1 , 3 )
e
s : X = 1 , 3 , 6 + µ ( 0 , 2 , 6 )
µ
Ver solução completa Duas retas
r 1
e
r 2
coplanares e não paralelas são concorrentes. Consideremos as retas:
r 1 : y = - 3 x + 2 z = 3 x - 1
e
r 2 : x = - t y = 1 + 2 t z = - 2 t
Determinemos seu ponto de interseção.
Ver solução completa A equação da reta em
R 2
paralela à direção do vetor
5 , 2
e que passa pelo ponto
11 , 7
é:
2 x - 5 y = - 13
5 x + 2 y = 0
5 x + 2 y = 69
2 x - 5 y = 0
Ver solução completa Considere as retas
r : X = 1 , 0 , - 2 + λ ( 2 , - 1 , 1 )
e
s : 2 x - y + 2 z = 5 x + 2 y - 2 z = 3
a) Escreva equações paramétricas para a reta
s
.
b) Mostre que
r
e
s
são concorrentes.
c) Escreva equações paramétricas para a reta que corta
r
e
s
perpendicularmente.
Ver solução completa Sejam as retas
r : X = - 5 , - 4 , 1 + λ ( 3 , 3 , 1 )
e
s : X = 2 , 3 , 6 + λ ( 1 , 1 , 3 )
.
a) Determine a posição relativa entra as retas
r
e
s
.
b) Determine as equações paramétricas para a reta perpendicular comum às retas
r
e
s
.
Ver solução completa Considere as retas
r 1
e
r 2
de
R 3
cujas equações paramétricas são
r 1 : 1 + t , 2 t , 1 - 2 t , t ∈ R
r 2 : a + 2 t , 1 + t , 10 + t , t ∈ R
A reta
r 3
de equação cartesiana
r 3 : x + y + z = 3 x - y + 2 z = 1
E o plano
π
de equação cartesiana
π : x + y + 2 z = 4
a) Determine o valor de
a
para que as retas
r 1
e
r 2
se interceptem em um ponto. Nesse caso (para o valor de
a
obtido) determine o ponto
P
de interseção das retas
r 1
e
r 2
.
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