Lista de Exercícios Resolvidos de Posições Relativas de Retas

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Calcular o valor de m para que as retas

Sejam ortogonais.

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Calcular o valor de m para que os seguintes pares de retas sejam paralelas:

  1. r :   x = - 3 t y = 3 + t z = 4 e s : x + 5 6 = y - 1 m     : z = 6
  2. r :   x = 2 - 3 t y = 3 z = m t e s : x - 4 6 = z - 1 5     : y = 7

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Ache equações paramétricas da reta r que passa por P = ( - 1 ,   3 ,   1 ) e é perpendicular à reta

s : x - 1 2 = y - 1 3 = z

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Estude a posição relativa das retas:

r 1 : x - 2 2 = y 3 = z - 5 4 e r 2 : x + 5 - 1 = y + 3 = z - 6 3

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Verifique se as retas

r : X = 1,1 ,   1 + λ 2 ,   1 ,   - 3       ( λ ∈ R )

s : X = 0 ,   1 ,   0 + α - 1 ,   2 ,   0       ( α ∈ R )

são ortogonais. Verifique também se são perpendiculares.

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Mostre que as retas abaixo são concorrentes e determine o ponto de interseção entre elas.

r 1 : x - 2 2 = y 3 = z - 5 4 e r 2 : x = 5 + t y = 2 - t z = 7 - 2 t

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Sejam r e s as retas reversas, passando por A e B e por C e D respectivamente. Obtenha uma equação vetorial da reta t , concorrente com r e s , e paralela ao vetor v → = ( 1 ,   - 5 ,   - 1 ) .

Dados: A = 0 ,   1 ,   0 ,   B = 1 ,   1 ,   0 ,   C = - 3 ,   1 ,   - 4 e D = ( - 1 ,   2 ,   - 7 ) .

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Estude a posição relativa das retas

r : X = 1 ,   2 ,   3 + λ ( 0 ,   1 ,   3 ) e s : X = 1 ,   3 ,   6 + µ ( 0 ,   2 ,   6 )

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Duas retas r 1 e r 2 coplanares e não paralelas são concorrentes. Consideremos as retas:

r 1 : y = - 3 x + 2 z = 3 x - 1 e r 2 : x = - t y = 1 + 2 t z = - 2 t

Determinemos seu ponto de interseção.

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A equação da reta em R 2 paralela à direção do vetor 5 ,   2 e que passa pelo ponto 11 ,   7 é:

  1. 2 x - 5 y = - 13
  2. 5 x + 2 y = 0
  3. 5 x + 2 y = 69
  4. 2 x - 5 y = 0

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Considere as retas r :   X = 1 ,   0 ,   - 2 + λ ( 2 ,   - 1 ,   1 ) e s : 2 x - y + 2 z = 5 x + 2 y - 2 z = 3

a) Escreva equações paramétricas para a reta s .

b) Mostre que r e s são concorrentes.

c) Escreva equações paramétricas para a reta que corta r e s perpendicularmente.

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Sejam as retas r : X = - 5 ,   - 4 ,   1 + λ ( 3 ,   3 ,   1 ) e s : X = 2 ,   3 ,   6 + λ ( 1 ,   1 ,   3 ) .

a) Determine a posição relativa entra as retas r e s .

b) Determine as equações paramétricas para a reta perpendicular comum às retas r e s .

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Considere as retas r 1 e r 2 de R 3 cujas equações paramétricas são

r 1 : 1 + t ,   2 t ,   1 - 2 t ,   t ∈ R

r 2 : a + 2 t ,   1 + t ,   10 + t ,   t ∈ R

A reta r 3 de equação cartesiana

r 3 :   x + y + z = 3 x - y + 2 z = 1

E o plano π de equação cartesiana

π : x + y + 2 z = 4

a) Determine o valor de a para que as retas r 1 e r 2 se interceptem em um ponto. Nesse caso (para o valor de a obtido) determine o ponto P de interseção das retas r 1 e r 2 .

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