Enunciado

  1. Encontre a aproximação de mínimos quadrados de f x = x no intervalo 0 ,   1 por uma função da forma a + b e x .
  2. Encontre o erro quadrático médio da aproximação.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Temos a seguinte função:

f x = x

A aproximação de mínimos quadrados de f x no intervalo 0 ,   1 por uma função do tipo a + b e x é a função g x no subespaço W estendida por 1 ,   e x .

Para encontrar g x primeiro vamos encontrar uma base ortonormal para W aplicando o processo Gram-Schmidt em 1 ,   e x .

Consideremos:

w 1 = v 1 = 1

E:

w 2 = v 2 - w 1 , v 2 w 1 2 w 1

Temos que:

w 2 = e x - 1 , e x 1 2 1

w 2 = e x - e - 1 1

w 2 = e x - e + 1

Então, 1 ,   e x - e + 1 é uma base ortonormal para W .

Passo 2

Vamos normalizar cada vetor de 1 ,   e x - e + 1 para obter uma base ortonormal g 0 ,   g 1 :

g 0 = w 1 w 1 = 1

g 1 = w 2 w 2

Logo:

g 1 = e x - e - 1 e x - e + 1

g 1 = e x - e + 1 - 3 2 + 2 e - 1 2 e 2

g 1 = - 1 2 + 1 e - 1 e x

Portanto:

g x = - 1 2 + 1 e - 1 e x

Passo 3

O erro quadrático médio de aproximação é dado por:

f - g 2 = ∫ 0 1 f x - g x 2 d x

f - g 2 = ∫ 0 1 e x - - 1 2 + 1 e - 1 e x 2 d x

Resolvendo, temos que:

f - g 2 = 1 12 - 3 - e 2 e - 2

Resposta

a )   g x = - 1 2 + 1 e - 1 e x

b )   f - g 2 = 1 12 - 3 - e 2 e - 2

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