Enunciado

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Encontre uma base do espaço solução do sistema linear homogêneo e encontre a dimensão desse espaço.

3 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0 5 x 1 - x 2 + x 3 - x 4 = 0

Passo 1

Desejamos encontrar uma base do espaço solução do sistema linear dado e encontrar a dimensão do mesmo. Para isso vamos escrever o nosso sistema sob a forma de matriz para facilitar a visualização, então,

3 1 1 1 5 - 1 1 - 1 ⋅ x 1 x 2 x 3 x 4 = 0 0 0 0

Manipulando um pouco as equações fazendo as seguintes operações: Trocando as linhas 1 e 2 de lugar vamos obter

5 - 1 1 - 1 3 1 1 1 ⋅ x 1 x 2 x 3 x 4 = 0 0 0 0

Agora, tomemos o seguinte

L 2 - 3 5 ⋅ L 1 → L 2

Vamos obter

5 - 1 1 - 1 0 8 5 2 5 8 5 ⋅ x 1 x 2 x 3 x 4 = 0 0 0 0

5 8 L 2 → L 2 ,     L 1 + L 2 → L 1

5 0 5 4 0 0 1 1 4 1 ⋅ x 1 x 2 x 3 x 4 = 0 0 0 0

Por fim, façamos 1 5 ⋅ L 1 → L 1 obtendo então

1 0 1 4 0 0 1 1 4 1 ⋅ x 1 x 2 x 3 x 4 = 0 0 0 0

Dessa notação matricial conseguimos extrair o seguinte sistema

x 1 + x 3 4 = 0 x 2 + x 3 4 + x 4 = 0

Passo 2

Com o sistema acima em mãos vemos que não temos mais o que fazer com ele, então, vamos chamar algumas variáveis por letras para encontrarmos o espaço solução dependente dessas letras. Então, temos

x 3 = s   e   x 4 = t

→   x 1 + s 4 = 0 x 2 + s 4 + t = 0 → x 1 = - s 4 ,   x 2 = - s 4 - t

Dessa forma podemos construir a seguinte igualdade pro conjunto solução

x 1 x 2 x 3 x 4 = - s 4 - s 4 - t s t = s ⋅ - 1 4 - 1 4 1 0 + t ⋅ 0 - 1 0 1

Logo, a dimensão do espaço solução é 2 pois precisamos de 2 vetores para escrevê-lo.

Resposta

B a s e   : - 1 4 - 1 4 1 0 ,   0 - 1 0 1 ,   d i m e n s ã o : 2

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