Lista de Exercícios Resolvidos de Dimensão
Faça o que se pede
a) Encontre uma base para:
Além disso, diga qual a dimensão de .
b) O conjunto:
é linearmente independente? Calcule também .
c) Dê uma base e uma dimensão para :
Ver solução completaDizemos que duas matrizes comutam se satisfazem . Considere o conjunto de todas as matrizes que comutam com
Considere agora o caso particular das matrizes e .
e) Calcule a dimensão de .
Ver solução completaSeja . Então:
Existem dois vetores de que, junto com , geram
gera
Quaisquer dois vetores de , junto com , geram
Existem dois vetores de que, junto com geram
Ver solução completaAbaixo, cada “quadradinho” representa um número diferente de zero. (Dois quadradinhos idênticos podem representar números diferentes!) Qual dos conjuntos abaixo pode ter dimensão menor do que 3?
(a)
(b)
(c)
(d)
Ver solução completab) As colunas de uma matriz de tamanho correspondem a uma lista de vetores do
Ver solução completaQual dos sistemas abaixo possui um conjunto-solução de dimensão 2?
(a)
(b)
(c)
(d)
Ver solução completaSeja A uma matriz Aplicando-se operações elementares às linhas de A, obtém-se a matriz E abaixo:
Pode-se afirmar que:
(a) é base do espaço gerado pelas linhas de A.
(b) gera a imagem de A.
(c)
(d)
Ver solução completaSejam , e sequências infinitas definidas por , e . Considere a soma e o produto por escalar análogos aos do (isto é, componente a componente). Então a é:
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) Infinito
Ver solução completaConsidere W o subespaço do gerado por , , e . Isto é, W=[
i. O vetor (2,-3,2,2) pertence a W?
ii. Determine uma base para W e sua dimensão.
iii. W=? Justifique.
Ver solução completaJulgue verdadeiro ou falso. Justifique.
a) Seja um sistema linear homogêneo com equações e variáveis. Se , então existem duas soluções linearmente independentes.
b) Em , é possível encontrar dois subespaços vetoriais e com e tais que a soma seja direta.
Ver solução completaSejam um conjunto linearmente independente em e o espaço gerado por este conjunto. Seja ainda . Considere as afirmações:
- O conjunto é linearmente independente.
- O conjunto é linearmente independente.
Então:
ambas são verdadeiras
ambas são falsas
é verdadeira e é falsa
é falsa e é verdadeira
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