Lista de Exercícios Resolvidos de Dimensão

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Faça o que se pede

a) Encontre uma base β para:

H =   s p a n { 1 ,   0 ,   2 ,   1 ,   - 1 ,   1 ,   0 ,   0 ,   0 ,   0 ,   1 ,   1 ,   3 ,   - 2 ,   4 }

Além disso, diga qual a dimensão de H .

b) O conjunto:

α = { x 2 - 1 , x 2 + 1 , x - 1 , x 2 + x - 4 }

é linearmente independente? Calcule também d i m ⁡ ( s p a n α ) .

c) Dê uma base e uma dimensão para H :

H = s p a n - 1 2 0 3 , 2 - 1 - 3 0 , 1 1 - 3 3 , 2 2 - 6 6

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Dizemos que duas matrizes A , B ∈ M 2 × 2 ( R ) comutam se satisfazem A B = B A . Considere o conjunto C ( A ) de todas as matrizes que comutam com A

C A = B ∈ M 2 × 2 R A B = B A }

Considere agora o caso particular das matrizes A = 1 - 1 - 4 1 e D = 3 0 0 - 1 .

e) Calcule a dimensão de C ( A ) .

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Calcule a dimensão de I m A T , onde

A = 1 3 55 77 99 111 113 2 4 66 88 101 112 114

  1. 0 .
  2. 2 .
  3. 3 .
  4. 1 .

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Seja H = 1,1 , 1 , 2,1 , 1 , 0,1 , 1 , - 2 , - 1 , - 1 , 5,3 , 3 . Então:

a Existem dois vetores de H que, junto com 3 , 2,2 , geram R 3

b   H gera R 3

( c ) Quaisquer dois vetores de H , junto com 0,1 , - 1 , geram R 3

( d ) Existem dois vetores de H que, junto com 0 , 1 , - 1 geram R 3

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Abaixo, cada “quadradinho” representa um número diferente de zero. (Dois quadradinhos idênticos podem representar números diferentes!) Qual dos conjuntos abaixo pode ter dimensão menor do que 3?

(a) ∎ , 0 , ∎ , 0 , ∎ , ∎ , ∎ , ∎ , ( ∎ , 0 , ∎ , ∎ )

(b) ∎ , ∎ , ∎ , 0 , ∎ , 0 , ∎ , ∎ , ( ∎ , 0,0 , ∎ )

(c) ∎ , 0 , ∎ , ∎ , ∎ , ∎ , 0 , ∎ , ( ∎ , ∎ , ∎ , 0 )

(d) ∎ , 0 , ∎ , 0 , ∎ , ∎ , ∎ , 0 , ( 0,0 , ∎ , ∎ )

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Determine a dimensão do conjunto abaixo:

( - 1 ,   - 2 ,   - 1 ,   - 1 ) , ( - 1 ,   - 3 ,   - 3 ,   1 ) , ( - 2 ,   - 5 ,   - 3 ,   2 ) , ( - 1 ,   - 3 ,   - 1 ,   7 )

(a) 2

(b) 4

(c) 1

(d) 3

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b) As colunas de uma matriz de tamanho 5 × 7 correspondem a uma lista de vetores   L D do R 5

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Determine a dimensão do conjunto abaixo

< 1,1 , - 1,1 ,   1,2 , - 3 , - 1 ,   ,   3,5 , - 7 , - 1 ,   4,6 , - 8,0 >

(a) 1

(b) 2

(c) 3

(d) 4

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Qual dos sistemas abaixo possui um conjunto-solução de dimensão 2?

(a)   x + y + z + w = 0 x - y + z - w = 0 3 x + y + 3 z + w = 0

(b) x + 2 y + z + 2 w = 0 2 x + 4 y + 2 z + 4 w = 0 3 x + 6 y + 3 z + 6 w = 0

(c) x + y + z = 0 x - y + z = 0

(d) x + y + z + w = 0

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Seja A uma matriz 4 × 4 . Aplicando-se operações elementares às linhas de A, obtém-se a matriz E abaixo:

Pode-se afirmar que:

(a) 1,3 , 0 , - 2 , 0,0 , 1,2 é base do espaço gerado pelas linhas de A.

(b) { 1,0 , 0,0 , 3,0 , 0,0 , 0,1 , 0,0 , - 2,2 , 0,0 } gera a imagem de A.

(c) dim ⁡ I m A = 3

(d) dim ⁡ N A = 3

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Sejam   u → = ( 3,5 , 7 , … ) , v → = ( 6,9 , 12 , … ) e   w → = ( 4,6 , 8 , … ) sequências infinitas definidas por u n = 2 n + 1 , v n = 3 n + 3 e w n = 2 n + 2 ( n ≥ 1 ) . Considere a soma e o produto por escalar análogos aos do R n (isto é, componente a componente). Então a d i m ⁡ ( u → , v → , w → ) é:

(a) 1

(b) 2

(c) 3

(d) Infinito

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Considere W o subespaço do R 4 gerado por v 1 = 1 , - 2,0 , 0 , v 2 = 0,0 , 1,1 , v 3 = - 2 , 2 , 1 , 1 e v 4 = 1 , 0 , 0,0 . Isto é, W=[ v 1 ,   v 2 ,   v 3 ,   v 4 ] .

i. O vetor (2,-3,2,2) pertence a W?

ii. Determine uma base para W e sua dimensão.

iii. W= R 4 ? Justifique.

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Julgue verdadeiro ou falso. Justifique.

a) Seja A m × n ⋅ x = 0 um sistema linear homogêneo com m equações e n variáveis. Se n = m + 2 , então existem duas soluções x 1 ,   x 2   ∈ R n linearmente independentes.

b) Em P 4 , é possível encontrar dois subespaços vetoriais W 1 e W 2 com d i m W 1 = d i m W 2 = 3 e tais que a soma W 1 + W 2 seja direta.

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Sejam v 1 , v 2 , v 3 um conjunto linearmente independente em R 5 e H o espaço gerado por este conjunto. Seja ainda v 4 ∉ H . Considere as afirmações:

  1. O conjunto v 1 , v 1 + v 2 , v 2 + v 3 é linearmente independente.
  2. O conjunto v 1 , v 1 + v 2 , v 1 + v 3 , v 1 + v 4 é linearmente independente.

Então:

a ambas são verdadeiras

b ambas são falsas

c I é verdadeira e I I é falsa

d I é falsa e I I é verdadeira

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Determine a dimensão do conjunto abaixo:

( 1 ,   - 1 ,   1 ,   - 2 ) , ( 1 ,   0 ,   3 ,   - 1 ) , ( 1 ,   - 1 ,   0 ,   - 5 ) , ( 1 ,   0 ,   4 ,   2 )

(a) 3

(b) 4

(c) 1

(d) 2  

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Determine a dimensão do conjunto abaixo:

⟨ - 1 ,   - 1 ,   - 2 ,   2 ,   - 2 ,   - 1 ,   - 3 ,   3 ,   - 1 ,   0 ,   - 2 ,   2 ,   ( - 2 ,   - 1 ,   - 5 ,   4 ) ⟩

a) 4

b) 3

c) 1

d) 2

e) Não sei.

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