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Encontre uma decomposição em valores singulares de A.

- 2 2 - 1 1 2 - 2

Passo 1

Primeiro temos de encontrar os autovalores de A T A , para podermos encontrar os valores singulares de A .

A T A = - 2 - 1 2 2 1 - 2 ⋅ - 2 2 - 1 1 2 - 2 = 9 - 9 - 9 9

Agora calculando o determinante da nossa matriz pela matriz identidade λ

det ⁡ A T A - λ I = 9 - λ - 9 - 9 9 - λ = 0

Assim temos que:

9 - λ 9 - λ - 9 ⋅ 9 = 0

λ 2 - 18 λ + 81 - 81 = 0

λ λ - 18 = 0

λ 1 = 18 ,   λ 2 = 0

σ 1 = 3 2

Passo 2

Agora temos de encontrar os autovetores unitários não-nulos correspondentes aos nossos autovalores.

( A T A - λ 1 ) x = 0 → - 9 - 9 - 9 - 9 a b = 0 0

a = - 1 ,   b = 1

Assim:

v 1 = - 1 2 ,   1 2

( A T A - λ 2 ) x = 0 → 9 - 9 - 9 9 a b = 0 0

a = 1 ,   b = 1

Assim:

v 2 = 1 2 ,   1 2

Finalmente podemos achar nossos vetores colunares da nossa matriz ortogonal U .

u 1 = 2 3 ,   1 3 ,   - 2 3 ,   u 2 = 1 2 , 0 ,   1 2 ,   u 3 = 2 6 ,   - 2 2 3 , - 2 6

Passo 3

Assim nossa decomposição de valores singulares fica:

A = - 2 2 - 1 1 2 - 2 = 2 3 1 2 2 6 1 3 0 - 2 2 3 - 2 3 1 2 - 2 6 ⋅ 3 2 0 0 0 0 0 ⋅ - 1 2 1 2 1 2 1 2 = U Σ V T

Resposta

2 3 1 2 2 6 1 3 0 - 2 2 3 - 2 3 1 2 - 2 6 ⋅ 3 2 0 0 0 0 0 ⋅ - 1 2 1 2 1 2 1 2

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