Enunciado

Nos exercícios 17-18, use a decomposição P L U dada de A para resolver o sistema A x = b , usando o método dos Exercícios 15 e 16.

A =   3 - 1 0 3 - 1 1 0 2 1 ; b = - 2 1 4

Passo 1

Para resolver como P L U , temos que saber que é basicamente trocar as linhas das matrizes e depois multiplicar por L U

L = 1 0 0 x 21 1 0 x 31 x 32 1           e             U = x 11 x 12 x 13 0 x 22 x 23 0 0 x 33

Começaremos a fazer uma suposição, o primeiro elemento da coluna e de linha não pode ser zero, afinal, não conseguiremos fazer o escalonamento corretamente. Percebe, como não conseguimos tirar o 3?

  0 2 1 3 - 1 1 3 - 1 0 ( - 1 ) ∼   0 2 1 3 - 1 1 0 0 - 1

Agora, começaremos as tentativas e erros. Sabendo que vamos ter que inverter algumas linhas, então, faremos entre a linha 1 ( L 1 ) e a linha 2 ( L 2 ) e escalonando-as:

3 - 1 1 3 - 1 0 0 2 1 ( - 1 ) ∼ 3 - 1 1 0 0 1 0 2 1

Mas, mesmo assim, não está dando certo, né? Então faremos a troca entre L 2 e L 3 .

3 - 1 1 0 2 1 3 - 1 0 ( - 1 ) ∼ 3 - 1 1 0 2 1 0 0 - 1

Olha! Agora foi escalona certinho!

Passo 2

Para marcar essa inversão de linhas, lembremos da matriz identidade ( I ) , em que seu conceito é que qualquer matriz R multiplicada por ela resultará na própria matriz R .

M a t r i z   I d e n t i d a d e   ( I ) = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

R I = R

Como trocamos a L 2 e L 3 da matriz A , trocaremos também L 2 e L 3 de I e encontramos nossa matriz P !

P = 1 0 0 0 0 1 0 1 0

Passo 3

Ufa! Descobrimos P , agora falta L U , mas um momento, vc notou que já encontramos U ? Quando estávamos vendo qual linha trocava, fizemos um escalonamento que tem a mesma forma de U

U = x 11 x 12 x 13 0 x 22 x 23 0 0 x 33

E

3 - 1 1 0 2 1 0 0 - 1

Olokinho meu! Nessa brincadeira já encontramos duas matrizes! Agora falta a L !

Passo 4

Para encontrar L , faremos o sisteminha com a matriz já invertida!

1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 x 21 1 0 x 31 x 32 1 3 - 1 1 0 2 1 0 0 - 1 = 3 - 1 1 0 2 1 0 0 - 1

  3 - 1 1 3 x 21 - x 21 + 2 x 21 3 x 31 - x 31 + 2 x 32 x 31 + x 32 - 1 = 3 - 1 1 0 2 1 0 0 - 1

Assim

x 21 = 0

x 31 = 1

x 32 = - 1

Substituindo em

L = 1 0 0 0 1 0 1 - 1 1

Passo 5

Para verificar em sua prova se suas matrizes estão certas, é só multiplicar as matrizes que encontramos:

P L U = A

1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 - 1 1 3 - 1 1 0 2 1 0 0 - 1 =   3 - 1 0 3 - 1 1 0 2 1

  3 - 1 0 3 - 1 1 0 2 1 =   3 - 1 0 3 - 1 1 0 2 1

Passo 6

Fazendo o sistema:

  3 - 1 0 3 - 1 1 0 2 1 x 1 x 2 x 3 = - 2 1 4 ∼ 3 - 1 0 - 2 3 - 1 1 1 0 2 1 4 ∼ 1 0 0 - 1 2 0 1 0 1 2 0 0 1 3

Resposta

x 1 = - 1 2

x 2 = 1 2

x 3 = 3

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