Enunciado

Encontre uma decomposição em valores singulares reduzida e uma expansão em valores singulares reduzida da matriz A do exercício 9 .

Passo 1

A matriz do exercício 9 é dada por:

A = 1 1 0 0 1 1

Primeiramente vamos encontrar os autovalores da matriz:

A T × A = 1 0 1 1 0 1 × 1 1 0 0 1 1  

= 1 × 1 + 0 × 0 + 1 × 1 1 × 1 + 0 × 0 + 1 × 1 1 × 1 + 0 × 0 + 1 × 1 1 × 1 + 0 × 0 + 1 × 1

= 2 2 2 2

Assim,

p A x = det ⁡ x × I - A

= x 0 0 x - 2 2 2 2

= x - 2 - 2 - 2 x - 2

= x - 2 2 - 4

= x 2 - 4 × x + 4 - 4

= x 2 - 4 × x

= x × x - 4 .

Ou seja, os autovalores são 0 e 4 .

Passo 2

Logo, os valores singulares são σ 1 = 2 , pois eles são não nulos.

Agora, encontrando seus autovetores e v 1 = c d , temos:

2 2 2 2 × c d = 2 × c 2 × d ⟹ 2 × c + 2 × d 2 × c + 2 × d = 2 × c 2 × d ⟹ c = d = 0 ⟹ c d = 0 0

Logo, V = 0 0 diagonaliza A T × A ortogonalmente.

Passo 3

Agora, pela parte ( d ) do Teorema 9.5 . 4 , temos:

u 1 = 1 σ 1 × A × v 1 ⟹ u 1 = 1 2 × 1 1 0 0 1 1 × 0 0 = 1 2 1 2 0 0 1 2 1 2 × 0 0 = 0 0 0 .

Resposta

Como um dos valores singulares é 0 , não conseguimos concluir o exercício.

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