Enunciado

Encontre um resultado análogo de “Mostre que se A   tem um alinha de zeros e   B   é uma matriz qualquer para a qual o produto   A B   está definido, então   A B   também tem uma linha de zeros” para uma coluna de zeros

Passo 1

Primeiramente, vamos expressar as matrizes A e B como matrizes quaisquer de dimensões n × n sendo que a primeira linha de A possui apenas entradas nulas. Assim:

A = 0 a 11 0 a 22 0 a 32 ⋯ a 1 n a 2 n a 3 n ⋮ ⋱ ⋮ 0 a n 2 ⋯ a n n e B = b 11 b 12 b 13 ⋯ b 1 n ⋮ ⋱ ⋮ b n 1 b n 2 b n 3 ⋯ b n n

Passo 2

Se realizarmos o produto matricial A B , veremos que resultará numa matriz n × n de forma:

A B = 0 . b 11 + a 11 . b 21 + … + a 1 n b n 1 0 . b 11 + a 11 . b 21 + … + a 1 n b n 1 0 . b 11 + a 11 . b 21 + … + a 1 n b n 1 ⋯ * * * ⋮ ⋱ ⋮ 0 . b 11 + a 11 . b 21 + … + a 1 n b n 1 ⋯ *

A B * * * * * * ⋯ * * * ⋮ ⋱ ⋮ * * ⋯ *

Sendo cada * uma entrada real. Logo, teremos uma matriz com ao menos uma linha de zeros.

Teremos uma matriz não necessariamente possui uma coluna de zeros.

Passo 3

Mas, se a matriz B possuir uma coluna de zeros, teremos:

B = 0 b 11 0 b 22 0 b 32 ⋯ b 1 n b 2 n b 3 n ⋮ ⋱ ⋮ 0 b n 2 ⋯ b n n e A = a 11 a 12 a 13 ⋯ a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 a n 3 ⋯ a n n

A B = a 11 . 0 + a 1 2 . 0 + … + a 1 n . 0 a 2 1 . 0 + a 2 2 . 0 + … + a 2 n . 0 a 3 1 . 0 + a 32 . 0 + … + a 3 n . 0 ⋯ * * * ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 . 0 + a n 2 . 0 + … + a n n . 0 ⋯ *

A B = 0 * 0 * 0 * ⋯ * * * ⋮ ⋱ ⋮ 0 * ⋯ *

Sendo cada * uma entrada real. Logo, teremos uma matriz com ao menos uma linha de zeros.

Resposta

Vide a demonstração, temos que, se A possuir uma coluna de zeros, não necessariamente a matriz produto A B terá uma coluna de zeros. Mas, se houver uma coluna de zeros em B , teremos uma matriz A B com ao menos uma coluna de zeros.

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Encontre condições sobre os b i ' s para que cada um dos sistemas seja consistente (isto é, tenha solução):a) x 1 - 2 x 2 + 5 x 3 = b 1 4 x 1 - 5 x 2 + 8 x 3 = b 2 - 3 x 1 + 3 x 2 - 3 x 3 = b 3
Para cada sistema linear dado, encontre todos os valores de a para os quais o sistema não tem solução, tem solução única e tem infinitas soluções:b) x + y + z = 2 2 x + 3 y + 2 z = 5 2 x + 3 y + a 2 -
Determine os coeficientes a , b , ced da função polinomial p x = a x 3 + b x 2 + c x + d , cujo gráfico passa pelos pontos P 1 = 0,10 , P 2 = 1,7 , P 3 = 3 , - 11 eP 4 = ( 4 , - 14 ) .
Determine os coeficientes a , b , ced do círculo, x 2 + y 2 + a x + b y + c = 0 , que passa pelos pontos pelos pontos P 1 = - 2 , 7 , P 2 = - 4 , 5eP 3 = 4 , - 3 .
Considere a matriz A =0 1 7 8 1 3 3 8 - 2 - 5 1 - 8 . Encontre matrizes elementares E, F, G e H tais que R = EFGHA e uma matriz escalonada reduzida. .