Lista de Exercícios Resolvidos de Resolvendo Sistemas Lineares

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Mostre que o conjunto solução do sistema :

x - 2 y = 3 3 x + y = 1

não irá se alterar se acrescentarmos a equação 2 x + 3 y = ___ (não resolva o sistema!)

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Utilize escalonamento para resolver o seguinte sistema de equações.

x 1 - 2 x 2 + x 3 + x 4 - 2 x 5 = 2 3 x 1 + 2 x 2 - 2 x 3 + 2 x 4 - x 5 = 3 2 x 1 + 4 x 2 - 3 x 3 + x 4 + x 5 = 1

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Um biólogo colocou três espécies de bactérias (denotadas por I, II e III) num tubo de ensaio, onde elas serão alimentadas por três fontes diferentes de alimentos (A, B e C). Em cada dia serão colocadas no tubo de ensaio 1500 unidades de A, 3000 unidades de B e 4500 unidades de C. Cada bactéria consome um certo número de unidades de cada alimento por dia, como mostra a tabela. Quantas bactérias podem coexistir no tubo de ensaio de modo a consumir todo o alimento?

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Se

a + b c + d c - d a - d = 4 6 10 2

Encontre a , b , c e d .

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Se o termo ( x 0 ,   y 0 ,   z 0 ) é a solução do sistema abaixo, então 3 x 0 + 5 y 0 + 4 z 0 é igual a:

3 x + z = - 5 x + y + z = - 2 2 y - z = - 3

a) -8

b) -7

c) -6

d) -5

e) -4

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Resolva o sistema abaixo pelos métodos pedidos.

2 x + 3 y = 8 x - y = - 1

a) Método da substituição.

b) Método da adição.

c) Escalonamento.

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Resolva o sistema linear abaixo, escrevendo o conjunto-solução em equações paramétricas:

x + y - 2 z = - 2 x - y = 0 2 x + y - 3 z = - 3

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Considere o sistema linear

1 2 - 1 1 - 1 0 2 1 - 1 ∙ x y z = - 2   2 0

  1. Encontre todas as soluções do sistema homogêneo associado e represente este espaço de soluções como um espaço gerado.
  2. Verifique que ( 1 , - 1,1 ) é solução do sistema não-homogêneo acima.
  3. Enconte todas as soluções e represente-as como um espaço gerado deslocado da origem.

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O sistema linear - 1 x + - 2 y + - 2 z = 5 - 1 x + 0 y + - 3 z = 5 1 x + 4 y + 3 z = - 9 admite a solução ( x 0 , y 0 , z 0 ) . A soma de x 0 + y 0 + z 0 é:

(a) - 1

(b) - 2

(c) 3

(d) 4

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Assinale abaixo a soma das componentes de um vetor solução do sistema linear representado pela matriz aumentada:

0 1 1 0 1 - 1 1 1 1 1 1 2 5 3 7 8

( a ) 3

( b ) 7

( c ) 5

( d ) 1

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O sistema linear - 1 x + - 2 y + - 2 z = 5 - 1 x + 0 y + - 3 z = 5 1 x + 4 y + 3 z = - 9 admite a solução ( x 0 , y 0 , z 0 ) . A soma de x 0 + y 0 + z 0 é:

( a ) - 1

( b ) - 2

( c ) 3

( d ) 4

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Assinale o valor de x na solução do sistema:

19 x + 23 y + z = 33 17 x + 19 y - z = 33 17 x + 17 y + z = 33

a   1

b   3

c   23

d   11

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Deseja-se encontrar o polinômio da forma p x = a 0 + a 1 x + 1 + a 2 x x + 1 cujo gráfico passe pelos pontos - 1,2 ,   0,3 e 1,0 . O vetor de coeficientes a 0 , a 1 , a 2 :

( a ) não pode ser calculado pela solução de um sistema linear, pois trata-se de um problema quadrático.

( b ) é solução do sistema linear representado por 1 - 1 1 1 0 0 1 1 1 2 3 0

( c ) é solução do sistema linear representado por 1 0 0 1 1 0 1 2 2 2 3 0

( d ) é solução do sistema linear representado por - 1 0 1 2 3 0 0 0

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A soma dos componentes do vetor solução do sistema linear representado pela matriz aumentada 1 - 3 - 3 - 3 - 6 2 - 3 - 1 - 1 - 1 1 1 - 1 43 3 1 é:

( a ) 0

( b ) - 2

( c ) - 1

( d ) 1

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Quais são todos os possíveis valores de α e β para que o sistema linear a seguir tenha infinitas soluções.

3 - 1 6 1 - 6 3 - 15 - 2 - 3 0 - 8 + α - 1 6 0 6 4 x y z w = 0 3 2 + β 6

a   α = 7 ,   β = - 5

b   α = 5 ,   β = - 5

c   α ≠ 6 ,   β = - 8

d   α = 7 ,   β = - 4

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Quais valores de α e β fazem com que o sistema linear a seguir não tenha solução?

4 5 0 - 4 8 8 5 - 8 - 4 - 3 - 7 + α 4 8 6 10 - 6 x y z w = 3 1 4 + β 4

a   α ≠ 2 ,   β ≠ - 2

b   α ≠ 2 ,   β = - 2

c   α = 2 ,   β = - 2

d   α = 2 ,   β ≠ - 2

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Dada uma matriz A n × n , podem existir vetores não nulos v → ∈ R n , tais que A v → = λ v → , onde λ ∈ R (nesse caso v → é dito autovetor de A associado ao escalar λ ).

Suponha que A = 4 0 - 1 0 2 0 2 0 1 e A v → = 3 v → . Então, se sabemos que a primeira coordenada de v → é igual a 1 , a soma das coordenadas de v → será igual a:

( a ) 0

( b ) 1

( c ) 3

( d ) 2

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A soma dos componentes do vetor solução do sistema linear representado pela matriz aumentada 0 - 2 1 - 1 - 1 2 1 - 2 1 0 - 3 3 1 1 - 1 0 é:

( a ) - 4

( b ) - 2

( c ) - 5

( d ) - 3

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A soma dos componentes do vetor solução do sistema linear representado pela matriz aumentada

- 2 2 - 1 - 1 - 1 2 1 - 2 1 0 - 3 3 1 - 1 1 0

É:

( a ) - 6

( b ) - 9

( c ) - 10

( d ) - 8

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O sistema linear representado pela matriz aumentada - 1 - 1 - 1 3 3 2 1 2 1 4 5 3 1 1 - 1 0 possui solução única. A soma dos componentes do vetor solução é:

( a ) - 1

( b ) 1

( c ) 0

( d ) - 2

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Considere A x = b , onde A é m × 2 , e seja G x = c a forma escalonada. Assinale a afirmativa FALSA:

( a ) Se b = α a 1 + β a 2 então c = α g 1 + β g 2

( b ) Se b ∉ 〈 a 1 , a 2 〉 então c ∉ g 1 , g 2

( c ) a 1 , a 2 = g 1 , g 2

( d ) Se a 1 = α a 2 então g 1 = α g 2

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O sistema abaixo possui solução única qualquer que seja o vetor a , b , c , d do lado direito.

4 x - 3 y     = a - x + y     = b     2 z - 5 w = c     - z + 3 w = d

Assinale o vetor a , b , c , d que produz o menor valor para a soma x + y + z + w , onde x , y , z , w é a solução do sistema acima:

a   1,1 , 1,1

b   1 , - 1 , - 1,1

c   1 , - 1,1 , - 1

d   1,1 , - 1 , - 1

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A soma dos componentes do vetor solução do sistema linear representado pela matriz aumentada 1 - 3 - 3 - 3 - 6 2 - 3 - 1 - 1 - 1 1 1 28 26 16 - 8 é:

( a ) - 12

( b ) - 10

( c ) - 13

( d ) - 11

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Quais valores de α e β fazem com que o sistema linear a seguir tenha solução única?

1 - 3 2 3 - 2 9 - 5 - 6 - 1 0 - 3 + α - 3 2 0 2 12 x y z w = 0 1 2 + β 2

( a ) α ≠ 2 , β ∈ R

( b ) α ≠ 1 , β ∈ R

( c ) α = 3 ,   β ≠ - 2

( d ) α ≠ 1 , β = - 3

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Considere o sistema linear de equações

x + y + z = 1 2 x - y + z = 0 x + 4 y + a z = d

  1. Determine a e d para que o sistema tenha infinitas soluções.
  2. Determine a e d para que o sistema não tenha solução.
  3. Ache a solução do sistema quando a = 1 e d = 0 .

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Considere a seguinte matriz ampliada de um sistema de equações lineares. Quais as condições que a e b devem satisfazer pra que o sistema tenha infinitas soluções? Neste caso, qual o grau de liberdade do sistema?

1 0 2 3 4 - 2 6 8 2 3 7 12 - 1 3 a b

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Considere o sistema A x = b onde b = 1 , 1,1 , 1 e

A = 1 2 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0

A soma das entradas da única solução do sistema vale:

( a ) 3

( b ) 1

( c ) 4

( d ) 2

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Quais são todos os possíveis valores de α e β para que o sistema linear a seguir não tenha solução?

3 - 3 6 3 - 6 9 - 15 - 6 - 3 0 - 5 + α - 3 6 0 6 12 x y z w = 0 3 2 + β 6

( a ) α = 1 , β = - 4

( b ) α ≠ 3 , β = - 3

( c ) α = 2 , β ≠ - 5

( d ) α = 3 , β ≠ - 3

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Assinale abaixo o valor da segunda componente da solução do sistema linear representado pela matriz aumentada

18 2 6 17 2 7 16 2 9 - 2 1 6

( a ) 3

( b ) 2

( c ) 1

( d ) 4

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Um dado é lançado 3 vezes seguidas e os obtidos, a , b e c , formam o lado direito do sistema abaixo:

2 x + 4 y + 3 z = a 4 x + 8 y + 12 z = b 5 x + 10 y + 15 z = c

Podemos afirmar que o sistema possui:

( a ) Uma chance em 18 de ter solução

( b ) Uma chance em 54 de ter solução

( c ) Uma chance em 72 de ter solução

( d ) Uma chance em 36 de ter solução

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Qual é a solução geral do sistema abaixo?

1 x 1 + 4 x 2 + 0 x 3 - 1 x 4 = 7 0 x 1 + 0 x 2 + 1 x 3 + 2 x 4 = 5

Obs: abaixo, s e t são parâmetros reais.

(a) 7,0 , 5,0 + s - 2,0 , 4 , - 2 + t 1,0 , - 2,1

(b) 7,0 , 5,0 + s 1,2 , 1,0 + t - 3,1 , - 2,1

(c) 3,1 , 5,0 + s - 4,1 , 0,0 + t 1,0 , - 2,1

(d) 3,1 , 5,0 + s 1,2 , 1,0 + t ( - 3,1 , - 2,1 )

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Considere o sistema abaixo e assinale o valor de x y + z quando x ,   y ,   z ≠ ( 0 ,   0 ,   0 ) :

5 z + 2 y + 2 x = 0 4 z + 7 y + x = 0 z - 5 y + x = 0

(a) 4

(b) 5

(c) - 3

(d) - 2

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Considere o sistema abaixo e assinale o conjunto que NÃO REPRESENTA a sua solução geral:

x + y + z + w = 4 x - y + z - w = 0  

(a) ( 1 ,   2 ,   1 ,   0 )   +   ( - 1 ,   - 1 ,   1 ,   1 ) , ( - 2 ,   - 2 ,   2 ,   2 )

(b) ( 2 ,   2 ,   0 ,   0 )   +   ( - 1 ,   0 ,   1 ,   0 ) , ( 0 ,   - 1 ,   0 ,   1 )

(c) ( 1 ,   1 ,   1 ,   1 )   +   ( - 1 ,   0 ,   1 ,   0 ) , ( 0 ,   - 1 ,   0 ,   1 )

(d) ( 1 ,   1 ,   1 ,   1 )   +   ( - 1 ,   - 1 ,   1 ,   1 ) , ( 1 ,   - 1 ,   - 1 ,   1 )

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A última equação do sistema linear abaixo é uma combinação das três primeiras. A soma dos coeficientes dessa combinação é:

x + y + z + w = 0 2 x - y + 3 z - w = 0 9 x + 6 y - 3 z + 3 w = 0 2 x - 7 y + 5 z - 7 w = 0

(a) 3

(b) −1

(c) 0

(d) 2

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Se ( x ,   y ,   z ) é solução do sistema

111 x + 77 y + 37 z = 9 221 x + 154 y + 73 z =   11

então x + z é igual a:

(a) 11

(b) 9

(c) 5

(d) 7

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Assinale a solução geral do sistema

x + y + z = 1 x - y + z =   - 3

(a) - 1 , - 2,0   +   < - 1,0 , 1 >

(b) - 1,2 , 0   +   < - 1,0 , 1 >

(c) - 1,2 , 0   +   < - 1,0 , 1 ,   - 1,1 , 0 >

(d) ( - 1 , - 2,0 )   +   < - 1,0 , 1 ,   - 1,1 , 0 >

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O sistema linear associado à matriz aumentada:

Tem solução única x , y , z . Então x + y + | z | é:

(a) 8

(b) 18

(c) 22

(d) 26

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Assinale a solução geral do sistema:

x + y + z + w = 3 x + y - z - w = - 5

a) 0 ,   - 1 ,   4 ,   0 + ⟨ 2 ,   2 ,   0 ,   0 ,   ( 0 ,   0 ,   1 ,   1 ) ⟩

b) 0 ,   - 1 ,   0 ,   4 + ⟨ 2 ,   - 2 ,   0 ,   0 ,   ( 0 ,   0 ,   1 ,   - 1 ) ⟩

c) 0 ,   - 1 ,   0 ,   4 + ⟨ 1 ,   1 ,   0 ,   0 ,   ( 0 ,   0 ,   1 ,   - 1 ) ⟩

d) - 1 ,   0 ,   4 ,   0 + ⟨ 1 ,   1 ,   0 ,   0 ,   ( 0 ,   0 ,   1 ,   1 ) ⟩

e) Não sei.

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Podemos afirmar que o conjunto-solução de - 1 3 5 5 0 5 6 7 0 5 6 8 0 5 6 9 x y z w = 0 0 0 0 tem dimensão igual a:

( a ) 3

( b ) 2

( c ) 4

( d ) 1

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O vetor 4 , 5,5 pode ser expresso como 4,5 , 5 = a 1,1 , 1 + b 1,2 , 3 + c 1,2 , 4 . O coeficiente c vale:

( a ) 2

( b ) - 2

( c ) - 1

( d ) 1

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Sejam A e B os seguintes sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:

A = a b c d e f g h i 0 0 0   e   B = a b d e g h c f i

Considere as afirmações abaixo e assinale a resposta correta:

  1. Se o sistema A tem apenas a solução trivial, então o sistema B não possui solução.
  2. Se o sistema B tem solução, então o sistema A tem uma solução não-trivial

a   Ambas são verdadeiras.

b   I é verdadeira e I I é falsa.

c   Ambas são falsas.

d   I I é verdadeira e I é falsa

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Considere o seguinte sistema linear:

a x + y = 1 x + a y = - 1

Assinale os valores de a para os quais o sistema tem mais de uma solução:

( a ) - 1

( b ) 1

( c ) 0

( d ) 1 e - 1

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Podemos afirmar que a solução do sistema linear 1 2 3 4 0 5 6 7 0 5 6 7 0 0 0 0 x y z w = 0 0 0 0