Enunciado

Encontre os valores de λ tais que o sistema homogêneo A - λ I 3 X = 0 - tem solução não trivial e para estes valores de λ , encontre um subconjunto de vetores ortonormais no conjunto solução, para a matriz

A = 0 0 0 0 2 2 0 2 2

Passo 1

Eaew, tudo certinho contigo?

Vamos começar! Resolver esta questão se trata de um problema de autovalores e autovetores! A primeira coisa que é conveniente fazermos é escrever o polinômio característicos relacionado a essa nossa matriz! Para isso vamos usar a equação:

A - λ I 3 X = 0 -           ( 1 )

Bora lá!

Passo 2

Reescrevendo a equação (1), utilizando a matriz dada e lembrando que I 3 é a matriz identidade em 3 dimensões, temos:

- λ 0 0 0 2 - λ 2 0 2 2 - λ x 1 x 2 x 3 = 0 0 0           ( 2 )

Agora, vamos achar λ que permita uma solução não trivial! Beleza?

Passo 3

Para isso precisamos tomar o determinante desta matriz ( 3 × 3 ) , obtendo:

- λ 2 - λ 2 - λ = 0 → - λ 2 - λ 2 →

→ - λ 4 - 4 λ + λ 2 = 0           ( 3 )

A equação (3) é o nosso polinômio característico! Vamos achar as raízes dele!

Passo 4

Uma raiz é bem direta, temos λ 1 = 0 e para as outras duas precisamos aplicar Bhaskara, temos:

λ + = 4 + 16 - 16 2 = 2

E como temos Δ = 0 , temos que λ - = 2 . Temos então nossas três raízes! Vamos obter os vetores agora!

Passo 5

Para isso precisamos aplicar as raízes individualmente em nossa equação (2), temos para λ 1 = 0 , que:

0 0 0 0 2 2 0 2 2 x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Realizando o produto matricial, obtemos:

0 2 x 2 + 2 x 3 2 x 2 + 2 x 3 = 0 0 0

Como as duas últimas linhas são iguais, temos apenas uma equação, para dois parâmetros, vamos deixar um deles livre! Tal como x 3 = α , portanto o nosso primeiro vetor é:

V 1 = 0 α α = α 0 1 1

Vamos obter o outro vetor! Belezinha?

Passo 6

Como temos agora apenas que λ + = λ - = 2 , só somos capazes de obter mais um vetor linearmente independente, aplicando novamente a equação (2), temos:

- 2 0 0 0 0 2 0 2 0 x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Fazendo o produto matricial, temos:

- 2 x 1 2 x 3 2 x 2 = 0 0 0

Esse sistema apresenta apenas a solução trivial, então temos apenas um vetor que representa o conjunto solução, se escolhermos α = 1 , e tomando a norma de V 1 , temos:

V 1 = 0 2 + 1 2 + 1 2 = 2

Temos que o nosso subconjunto ortonormal é tal que:

S N = V 1 N = 1 2 0 1 1

Resposta

V 1 N = 1 2 0 1 1

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada parte, encontre a equação característica da matriz. 3 0 8 - 1
Para cada uma das formas quadráticas abaixo, execute as seguintes tarefas: a) Escreva sua matriz e sua equação característica; b) Obtenha seus autovalores; c) Descreva suas linhas de nível; d) Ache au
Para cada uma das formas quadráticas abaixo, execute as seguintes tarefas: a) Escreva sua matriz e sua equação característica; b) Obtenha seus autovalores; c) Descreva suas linhas de nível; d) Ache au
Determine os autovalores das matrizes abaixo:[[[0,3,0],[3,3,3],[0,3,0]]] [[[6,-,1,-,3],[-,1,0,-,3],[-,3,-,3,-,2]]]