Exercícios de Autovalores e Autovetores de uma Matriz - Lista de Exercícios Resolvida
Questão 1
Seja uma matriz , não-nula, tal que a terceira coluna é igual a soma das duas primeiras. Assinale abaixo um autovetor de :
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Questão 3
A matriz tem três autovalores distintos, , e . Os vetores e são autovetores associados a e respectivamente. Assinale abaixo o vetor que poderia ser um autovetor associado a :
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Questão 4
Seja e seja um autovetor de associado ao autovalor . Se , quanto vale ?
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Questão 5
Se é tal que é um autovetor de A associado ao autovalor 1 e (1,2) é um autovetor de A associado ao autovalor 3, então a soma dos elementos da primeira coluna de é igual a
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Seja um inteiro maior do que 1 e seja . Se é um autovetor de A associado ao autovalor , então
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Questão 7
07) Considere as seguintes matrizes
, ,
e seja uma matriz que tem e como autovalores. São diagonalizáveis sobre .
A) e , apenas.
B) e , apenas.
C) e , apenas.
D) e , apenas.
E) e .
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Seja uma matriz e seja . O conjunto de soluções do problema é dado pelos vetores da forma:
Assinale a alternativa correta?
é autovalor de e o autoespaço correspondente tem dimensão .
é autovalor de e o autoespaço correspondente tem dimensão .
é autovalor de e o autoespaço correspondente tem dimensão .
não é autovalor de .
Ver solução completaQuestão 9
Seja a reflexão (espelhamento) em relação ao plano e
a matriz de na base de .
Da matriz , calcule os autovalores e o autoespaço associado ao maior autovalor.
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Seja , , uma matriz com autovetores , e , respectivamente associados aos autovalores , e . Seja um plano afim e paralelo ao plano gerado por e . Analogamente, seja um plano afim e paralelo ao plano gerado por e e, finalmente, seja um plano afim e paralelo ao plano gerado por e :
– Se , então
– Se , então
– Se , então
a) Apenas é falsa
b) Apenas é verdadeira
c) Apenas é verdadeira
d) Apenas é verdadeira
e) Apenas é falsa
f) Apenas é falsa
g) Não sei
Ver solução completaQuestão 12
Seja uma matriz quadrada e um vetor:
Se pertence ao núcleo de , então é autovetor de
Se pertence à imagem de , então é autovetor de .
(a) Ambas são falsas
(b) Ambas são verdadeiras
(c) é verdadeira e é falsa
(d)é falsa e é verdadeira
Ver solução completaQuestão 13
A matriz tem três autovalores distintos, , e . Os vetores e são autovetores associados a e respectivamente. Assinale abaixo o vetor que poderia ser um autovetor associado a :
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Questão 14
Considere a matriz
- Determine os autovalores de .
- Determine, para cada autovalor, o autoespaço associado.
Questão 15
Seja
Considere as seguintes afirmações.
(I) possui dois autovalores reais distintos;
(II) é diagonaliz ́avel sobre ;
(III) possui dois autovalores reais distintos.
Assinale a alternativa correta:
(a) todas as afirmações são falsas;
(b) apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras;
(c) apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras;
(d) todas as afirmações são verdadeiras;
(e) apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.
Ver solução completaQuestão 16
Considere o espaço vetorial munido do seu produto interno usual. Seja um operador linear e sejam tais que
sejam autovetores de associados, respectivamente, aos autovalores . Temos que o operador S será simétrico se, e somente se:
(a);
(b);
(c) ;
(d) ;
(e).
Ver solução completaQuestão 17
Abaixo, cada “quadradinho” representa um número diferente de zero (Dois quadradinhos idênticos podem representar números diferentes!). Assinale a matriz que pode ter um autovalor nulo:
b)
c)
d)
Ver solução completaQuestão 18
A matriz possui apenas um autovalor A dimensão do conjunto gerado pelos autovetores (o autoespaço) associado a é:
a)
b)
c)
d)
Ver solução completaQuestão 19
Seja a transformação linear que é a reflexão com relação ao plano de equação
e) Encontre três vetores e, satisfazendo simultaneamente:
- e são três autovetores distintos de
- e .
Questão 20
Sejam uma matriz e autovetores de associados a autovalores distintos:
é Linearmente Independente
é Linearmente Independente
(a) é falsa e é verdadeira
(b) Ambas são falsas
(c) Ambas são verdadeiras
(d)é verdadeira e é falsa
Ver solução completaQuestão 21
Sejam e um autovetor associado ao autovalor 4. Quanto vale ?
(a) 3
(b) 4
(c) 6
(d) 5
Ver solução completaQuestão 22
Considere o sistema linear onde é uma matriz quadrada que não possui autovetores:
sempre admite solução.
Quando admite solução, ela não é única.
(a) é falsa e é verdadeira
(b)Ambas são falsas
(c) Ambas são verdadeiras
(d) é verdadeira e é falsa
Ver solução completaQuestão 23
Sejam
e um autovetor associado ao autovalor 2. Quanto vale ?
(a) -2
(b) 0
(c) 1
(d) 3
Ver solução completaQuestão 24
Seja uma matriz tal que:
(a) é autovetor associado ao autovalor 1;
(b) é autovetor associado ao autovalor
Se então é igual a:
a)
b)
c)
d)
Ver solução completaQuestão 25
Suponha que a matriz tem dois autovalores distintos, e , e que e são autovetores associados ao autovalores . Quais dos vetores abaixo poderia ser um autovetor associado a
(a)
(b)
(c)
(d)
Ver solução completaQuestão 26
A matriz :
a) possui três direções LI de autovetores
b) não possui autovetores
c) possui apenas uma direção de autovetores
d) possui apenas duas direções LI de autovetores
e) Não sei
Ver solução completaQuestão 27
Sejam e matrizes quaisquer, e , respectivamente. Assinale a alternativa correta:
a) possui um autovetor em
b) Existe uma base de formada por autovetores de
c) Existe uma base de formada por autovetores de
d) possui um autovetor
e) Não sei.
Ver solução completaQuestão 28
Dada a matriz , os autovetores de associados ao menor autovalor de são da forma:
,
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Questão 29
Sabendo que o vetor é um autovetor da matriz com autovalor associado igual a , então é:
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Questão 30
Suponha que a matriz tem dois autovalores distintos, e , e que
são autovetores associados ao autovalor .
Qual dos vetores abaixo poderia ser um autovetor associado a ?
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Questão 31
Seja uma matriz tal que
é autovetor associado ao autovalor ;
é autovetor associado ao autovalor .
Se , então é igual a:
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Questão 32
Considere a matriz . Qual é a direção do vetor associado ao autovalor de maior módulo
A direção do vetor
A direção do vetor
A direção do vetor
A direção do vetor
Ver solução completaQuestão 33
Considere as seguintes afirmações:
Se é uma transformação linear sobrejetiva, então a dimensão do núcleo de é igual a .
Sejam e matrizes reais . Se é sobrejetiva, então possui autovalor igual a .
Qual das opções abaixo é CORRETA?
A afirmativa é falsa e é falsa.
A afirmativa é verdadeira e é falsa.
A afirmativa é falsa e é verdadeira.
A afirmativa é verdadeira e é verdadeira.
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Seja e seja um autovetor de associado ao autovalor . Se , quanto vale ?
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Questão 35
Seja um vetor que é autovetor de duas matrizes e , então:
- é autovetor da matriz .
- é autovetor da matriz .
e são verdadeiras.
e são falsas.
é verdadeira, mas é falsa.
é falsa, mas é verdadeira.
Ver solução completaQuestão 36
Q4. Sejam um espaço vetorial, um operador linear, vetores não nulos e autovalores de . Assum que seja um autovetor de associado ao autovalor e que se já um autovetor de associado ao autovalor . Considere as seguintes afirmações:
(I) se for um autovetor de , então ;
(II) se for bijetor, então e será um autovalor de ;
(III) o operador não tem autovalores, em que denota o operador identidade de .
Assinale a alternativa correta:
a) apenas as afirmações (I) e (II) são necessariamente verdadeiras;
b) apenas as afirmações (i) e (III) são necessariamente verdadeiras;
c) apenas a afirmação (II) é necessariamente verdadeira;
d) apenas a firmação (I) é necessariamente verdadeira;
e) apenas as afirmações (II) e (III) são necessariamente verdadeiras.
Ver solução completaQuestão 37
Q4. Assinale a alternativa contendo uma afirmação FALSA:
a) se for um operador linear que seja representado na base canônica de por uma matriz real e se for um autovetor de , então também será um autovetor de ;
b) se for tal que seu polinômio característico tenha duas raízes reais distintas, então
c) se o polinômio característico de tiver coeficientes reais e se for um autovalor de , então existirá uma matriz inversível tal que seja diagonal;
d) se o polinômio característico de tiver coeficientes reais e se for um autovalor de , então também será um autovalor de ;
e) se for tal que seu polinômio característico tenha uma raiz complexa não real, então será diagonalizável sobre .
Ver solução completaQuestão 38
Q12. Sejam um inteiro e a matriz cujas entradas sejam todas iguais a 1. Considere as seguintes afirmações:
(i) não é diagonalizável sobre
(ii) é um autovalor de ;
(iii) 0 é uma raiz do polinômio característico de cuja multiplicidade é igual a .
Assinale a alternativa correta:
a) apenas as afirmações (ii) e (iii) são necessariamente verdadeiras;
b) todas as afirmações são necessariamente verdadeiras;
c) apenas as afirmações (i) e (iii) são necessariamente verdadeiras;
d) apenas a afirmação (ii) é necessariamente verdadeira;
e) apenas a afirmação (iii) é necessariamente verdadeira;
Ver solução completaQuestão 39
Q5. Sejam um espaço vetorial real de dimensão finita munido de um produto interno e um operador linear tal que
Para todos . Suponha que seja um autovalor de . Pode-se afirmar que:
a) ou ;
b) ;
c) ;
d) ou ;
e) .
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Considere as afirmativas abaixo:
Se uma matriz possui autovetor, ela é inversível
Se uma matriz quadrada não possui autovetores, ela não é inversível
(a)
(b)Ambas são falsas
(c) Ambas são verdadeiras
(d)
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Seja uma matriz quadrada:
Se então 0 é autovalor de
Se 0 não é autovalor de então
(a) Ambas são falsas
(b) Ambas são verdadeiras
(c) é verdadeira e é falsa
(d) é falsa e é verdadeira
Ver solução completaQuestão 42
Identifique se cada afirmação é verdadeira ou falsa. Justifique.
(c) Seja v um autovetor de uma aplicação linear associado ao autovalor . Então, dado , v é autovetor de associado ao autovalor .
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Seja uma matriz , não-nula, tal que a terceira coluna é igual a soma das duas primeiras. Assinale abaixo um autovetor de :
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Questão 44
Sejam uma matriz quadrada e um autovetor de associado ao autovalor . Diga se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas.
- O vetor é um autovetor de associado ao autovalor .
- O vetor é um autovetor de associado ao autovalor .
é falsa e é verdadeira
Ambas são verdadeiras
Ambas são falsas
é verdadeira e é falsa
Ver solução completaQuestão 45
Seja fixado um sistema de coordenadas no espaço, com
uma base ortonormal. Considere a quádrica de equação
e suponha que uma equação reduzida para essa quádrica seja
para um certo Sabe-se que 3 é um autovalor da matriz
e que:
e
O valor de é:
- 3
- 1
- 5
- 2
- 0
Questão 46
Sejam um inteiro positivo e , matrizes semelhantes. Assinale a alternativa contendo uma afirmação que NÃO é necessariamente verdadeira:
- Para qualquer , se for um autovetor de , então será um autovetor de ;
- Para qualquer , se for um autovalor de , então será um autovalor de ;
- As matrizes transpostas e são semelhantes;
- As matrizes e são semelhantes, para todo inteiro ;
- As matrizes e possuem o mesmo polinômio característico.
Questão 47
Considere o sistema , onde pode ser um vetor qualquer. Sabendo que os autovalores de são e , podemos afirmar que:
O sistema nem sempre tem solução
O sistema tem sempre solução única
O sistema tem sempre mais de uma solução
O sistema nunca tem solução
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Sabendo que 7 é um autovalor de multiplicidade algébrica 3 da matriz , pode-se afirmar corretamente que também é autovalor de A o número
Ver solução completaQuestão 52
Seja espaço vetorial com Seja um operador ortogonal. Suponha que e são autovalores de tais que Mostre que se e são autovetores associados aos autovalores e respectivamente; então e são ortogonais.
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Sejam e matrizes quadradas tais que seus elementos não são todos iguais. As linhas de são todas iguais e as colunas de são todas iguais. Considere as afirmações abaixo e assinale a resposta CORRETA:
- sempre é autovalor de , mas nunca é autovalor de .
- sempre é autovetor de , mas nunca é autovetor de .
A afirmação é falsa e a é verdadeira.
A afirmação é falsa e a é verdadeira.
Ambas são falsas.
Ambas são verdadeiras.
Ver solução completaQuestão 54
Dada a matriz , os autovetores de associados ao menor autovalor de são da forma:
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Questão 55
Seja . Pode-se afirmar que:
Existem autovetores linearmente independentes associados ao autovalor e também é um autovalor.
Os autovalores de são e .
Existem autovetores linearmente independentes associados ao autovalor e também é autovalor.
Existem autovetores linearmente independentes associados ao autovalor e também é um autovalor.
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