Enunciado

Encontre um vetor unitário que seja ortogonal tanto a u → = ( 1,0 , 1 ) quanto a v → = ( 0,1 , 1 )

Passo 1

Vamos imaginar um terceiro vetor:

w → = w 1 , w 2 , w 3

Para que ele seja ortogonal à u → o produto interno entre eles deve ser igual a zero: u → ⋅ w → = 0

1,0 , 1 ⋅ w 1 , w 2 , w 3 = 0

1 ⋅ w 1 + 0 ⋅ w 2 + 1 ⋅ w 3 = 0

w 1 + w 3 = 0

Reorganizando:

w 1 = - w 3

Passo 2

Para que w → seja ortogonal à v → o produto interno entre eles deve ser igual a zero: v → ⋅ w → = 0

0,1 , 1 ⋅ w 1 , w 2 , w 3 = 0

0 ⋅ w 1 + 1 ⋅ w 2 + 1 ⋅ w 3 = 0

w 2 + w 3 = 0

Reorganizando:

w 2 = - w 3

Passo 3

Os passos anteriores nos deixaram com duas equações:

w 1 = - w 3

w 2 = - w 3

Então chegamos na conclusão:

w 1 = w 2 = - w 3

Logo:

w → = w 1 , w 1 , - w 1

Colocando em evidência:

w → = w 1 ⋅ 1,1 , - 1

Passo 4

Vamos agora calcular o vetor unitário. Para isso, basta dividir o vetor por sua norma:

e ^ = w → w →

Aplicamos o valor do vetor

e ^ = w 1 ⋅ 1,1 , - 1 w 1 ⋅ 1,1 , - 1

e ^ = w 1 ⋅ 1,1 , - 1 w 1 ⋅ 1,1 , - 1

e ^ = 1,1 , - 1 1 2 + 1 2 + 1 2

e ^ = 1,1 , - 1 3

O vetor unitário é:

e ^ = 1 3 , 1 3 , - 1 3

Resposta

e ^ = 1 3 , 1 3 , - 1 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

34 Seja P o ponto 1 ,3 ,7 . Se o ponto 4 ,0 ,- 6 for o ponto médio do segmento de reta que liga P e Q, quem é Q?
42 Use os resultados do Exercicio 41 para estimar, até o grau mais próximo, os ângulos que a diagonal de uma caixa de 10cm x 15cm x 25cm faz com as arestas da caixa.
44 Sejam u e v vetores não nulos no espaço bi ou tridimensional e sejam k=|u| e l=|v|. Mostre que o vetor w=lu+kv bissecta o ângulo entre u e v.
34 Seja P o ponto 1 ,3 ,7 . Se o ponto 4 ,0 ,- 6 for o ponto médio do segmento de reta que liga P e Q, quem é Q?
46. É possível ter p r o j a u = p r o j u a? Explique seu raciocínio.