Enunciado

Escreva uma equação reduzida da elipse, nos casos:

  1. O centro é O , os focos estão em O x , o eixo menor mede 6, e a distância focal é 8.
  2. O centro é O , os focos estão em O y , o eixo maior mede 10, e a distância focal é 6.
  3. Os focos são 0,6 e 0 , - 6 , e o eixo maior mede 34.
  4. Os focos são 5,0 e - 5,0 e um dos vértices é - 13,0 .
  5. Os focos são - 1,0 e 1,0 e um dos vértices é 0 , 2 .
  6. As extremidades do eixo menor são 0,4 e 0 , - 4 , e a amplitude focal é 8/5.
  7. Os focos são 0,2 3 e 0 , - 2 3 e a amplitude focal é 2.
  8. O centro é a origem, 0 , - 40 é um foco, e o ponto 5 , 14 3 pertence a elipse.

Passo 1

A equação reduzida de uma elipse centrada na origem é da forma:

x 2 p 2 + y 2 q 2 = 1

O centro da elipse é no ponto médio entre os dois focos. Portanto,

C = 0 , c + 0 , - c 2 = 0,0

Portanto, a elipse realmente está centrada na origem! Além disto, como os focos estão localizados no eixo O y , o denominador maior é q 2 . Podemos representar então, utilizando a definição de que a > b , a elipse da seguinte forma:

x 2 b 2 + y 2 a 2 = 1

Bom, vamos utilizar as relações do foco e da amplitude focal.

Sabemos que os focos têm coordenadas F = 0 , ± c = 0 , ± 2 3 . Só que quem é c ? Este parâmetro é obtido pela seguinte relação de a e b :

c 2 = a 2 - b 2

a 2 - b 2 = 12

Temos assim a nossa primeira relação entre a e b . E qual seria a segunda? Aí, temos que partir para a amplitude focal.

Sabemos que, para uma elipse, a amplitude focal é calculada por 2 b 2 / a . Portanto,

2 b 2 a = 2

b 2 = a

Substituindo esta segunda relação na nossa primeira, temos:

a 2 - b 2 = 12

a 2 - a = 12

a 2 - a - 12 = 0

As soluções para esta equação do segundo grau são a = 4 e a = - 3 . Como, por definição, o parâmetro geométrico é um número positivo, então, a = 4 . Consequentemente,

b 2 = a = 4

b = 2

E, desta forma, temos a seguinte equação da elipse:

x 2 4 + y 2 16 = 1

Resposta

x 2 4 + y 2 16 = 1

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