Enunciado

Escrever as equações paramétricas das retas que passam pelo ponto A 4 ,   - 5 ,   3 e são, respectivamente, paralelas aos eixos O x , O y e O z .

Passo 1

Antes de iniciarmos a resolução vamos relembrar rapidamente do que estamos falando quando utilizamos o termo “equações paramétricas”, tudo bem? Essas equações, assim como discutido no capítulo em questão do Winterle, são equações que representam uma reta qualquer utilizando uma mesma incógnita (geralmente chamada de t ) que recebe o nome de parâmetro. Esse termo t cria nada mais, nada menos do que uma ligação entre as equações paramétricas, galera! Show!

Dado um ponto qualquer do tipo x ,   y ,   z , através da equação vetorial da reta conseguimos extrair que:

x ,   y ,   z = x 1 ,   y 1 ,   z 1 + t a ,   b ,   c

Onde as equações paramétricas da reta são:

x = x 1 + a t y = y 1 + b t z = z 1 + c t

E essa é a ideia que vamos aplicar para resolver nossa questão! Como já temos o ponto A , então basta que consigamos determinar o vetor direção relacionado ao parâmetro t , ou seja:

a ,   b ,   c

Então bora que bora!

Passo 2

Para o primeiro par: A questão diz que a reta passa pelo ponto A e é paralela ao eixo x . Já que a reta é paralela ao eixo x , galera, então podemos concluir que a reta não possui componentes em y e em z , apenas em x , ok? Sendo assim, nosso vetor direção pode ser escrito da seguinte forma:

v → = 1 ,   0 ,   0

Que é, basicamente, o vetor canônico! Agora que encontramos nosso vetor direção, basta utilizarmos a relação que discutimos no passo 1 . Como nosso ponto é A 4 ,   - 5 ,   3 , então:

x ,   y ,   z = x 1 ,   y 1 ,   z 1 + t a ,   b ,   c

x ,   y ,   z = 4 ,   - 5 ,   3 + t 1 ,   0 ,   0

Logo, as equações paramétricas que passam pelo ponto A 4 ,   - 5 ,   3 e são paralelas ao eixo O x são:

x = 4 + t y = - 5 z = 3

Passo 3

Para o segundo par: A questão diz que a reta passa pelo ponto A e é paralela ao eixo y . Já que a reta é paralela ao eixo y , galera, então podemos concluir que a reta não possui componentes em x e em z , apenas em y , ok? Sendo assim, nosso vetor direção pode ser escrito da seguinte forma:

v → = 0 ,   1 ,   0

Que é, basicamente, o vetor canônico! Agora que encontramos nosso vetor direção, basta utilizarmos a relação que discutimos no passo 1 . Como nosso ponto é A 4 ,   - 5 ,   3 , então:

x ,   y ,   z = x 1 ,   y 1 ,   z 1 + t a ,   b ,   c

x ,   y ,   z = 4 ,   - 5 ,   3 + t 0 ,   1 ,   0

Logo, as equações paramétricas que passam pelo ponto A 4 ,   - 5 ,   3 e são paralelas ao eixo O y são:

x = 4 y = - 5 + t z = 3

Passo 4

Por fim, para o terceiro e último par: A questão diz que a reta passa pelo ponto A e é paralela ao eixo z . Já que a reta é paralela ao eixo z , galera, então podemos concluir que a reta não possui componentes em x e em y , apenas em z , ok? Sendo assim, nosso vetor direção pode ser escrito da seguinte forma:

v → = 0 ,   0 ,   1

Que é, basicamente, o vetor canônico! Agora que encontramos nosso vetor direção, basta utilizarmos a relação que discutimos no passo 1 . Como nosso ponto é A 4 ,   - 5 ,   3 , então:

x ,   y ,   z = x 1 ,   y 1 ,   z 1 + t a ,   b ,   c

x ,   y ,   z = 4 ,   - 5 ,   3 + t ( 0 ,   0 ,   1 )

Logo, as equações paramétricas que passam pelo ponto A 4 ,   - 5 ,   3 e são paralelas ao eixo O z são:

x = 4 y = - 5 z = 3 + t

E está aí nossa resposta, galera! 😉

Resposta

Equações paralelas ao eixo O x :

x = 4 + t y = - 5 z = 3

Equações paralelas ao eixo O y :

x = 4 y = - 5 + t z = 3

Equações paralelas ao eixo O z :

x = 4 y = - 5 z = 3 + t

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