Enunciado

Escrever equações reduzidas na variável z de cada uma das retas que satisfazem as condições dadas:

  1. Passa por A = ( 4 , - 2,2 ) e é paralela à reta r : x = 2 y = - 2 z

Passo 1

Como a reta procurada é paralela ao plano r : x = 2 y = - 2 z . Sabemos que a reta intercepta o ponto P ( 0,0 , 0 ) . Isso porque este satisfaz a equação.

x = 2 y = - 2 z

0 = 2.0 = - 2.0

0 = 0 = 0

Sendo assim, se escolhermos outro ponto que satisfaça a equação, podemos encontrar o vetor diretor. Consideramos então Q 2,1 , - 1 .

2 = 2.1 = - 2 ( - 1 )

2 = 2 = 2

Calculo do vetor diretor:

P A → = A → - P → = 2,1 , - 1 - 0,0 , 0 = 2,1 , - 1

P A → = 2,1 , - 1

Passo 2

Para encontrarmos a equação vetorial devemos ter o vetor diretor e um ponto comum pertencente a reta, sendo ele o ponto A dado no enunciado.

A equação vetorial

x , y , z = 4 , - 2,2 + 2,1 , - 1 t

Podemos então reescreve-las na forma paramétrica.

x = 4 + 2 t y = - 2 + t z = 2 - t

Passo 3

A partir das equações paramétricas podemos encontrar as equação na forma reduzida.

x = 4 + 2 t y = - 2 + t z = 2 - t

Isolando t na equação z

t = 2 - z

Substituindo os nas equação de x e y , temos.

Para x

x = 4 + 2 t

x = 4 + 2 2 - z

x = 4 - 2 z + 4

x = 8 - 2 z

Para y

y = - 2 + t

y = - 2 + 2 - z

y = - z

Equação reduzidas

x = 8 - 2 z y = - z

Resposta

Equação reduzida é x = 8 - 2 z y = - z .

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