Enunciado

No exercício anterior, reconheça cada curva Γ e faça um esboço da superfície.

Passo 1

Para resolver esta questão, vamos ter que analisar cada curva diretriz Γ obtida na questão 26-5 e depois fazer um esboço da superfície Ω obtida no final da questão.

Então, vamos começar devagar, a partir da letra a). Lá, a diretriz Γ dada foi:

Γ : x 2 - 2 z + 1 = 0 y - z + 1 = 0

Como a segunda superfície é um plano inclinado, não podemos isolar z e substituir na equação de cima para observar a curva obtida.

Se fizermos isto, podemos distorcer o resultado real, visto que a curva obtida seria a projeção da curva real no plano O x y . E então, como fazer?

Vamos analisar primeiro a nossa superfície Ω 1 : x 2 - 2 z + 1 = 0 . Ela é uma superfície cilíndrica parabólica, e suas diretrizes são paralelas ao eixo O y .

Automaticamente, ao interceptarmos a superfície Ω 1 por um plano, temos duas curvas possíveis: retas (uma ou duas), se o plano for paralelo ao eixo O y , ou uma parábola, caso contrário.

Então, vamos verificar se o plano é paralelo a O y . Para isto, temos o seguinte produto interno:

n → ⋅ j → = 0,1 , - 1   ⋅ 0,1 , 0 = 1

Como o produto interno deu diferente de zero, o plano não é paralelo a O y . Automaticamente, a curva Γ é uma parábola!

Agora, vamos fazer o esboço da superfície Ω : x z - y 2 - 2 z z - y + 1 = 0 . Para isto, iremos utilizar softwares para nos auxiliar.

Ao vocês fazerem o esboço, é importante sempre colocarem o vértice. Continuando, temos:

Passo 2

Agora, vamos para a letra b). Lá, a diretriz Γ dada foi:

Γ : x 2 + y 2 - x = 0 z = 0

Como a segunda superfície é um plano paralelo a um dos planos coordenados, podemos isolar a sua variável e substituir na primeira equação.

Com isto, vamos obter:

x 2 + y 2 - x = 0

Que é exatamente a primeira equação, já que ela não era função de z . Continuando, a diretriz Γ será:

x 2 - x + y 2 = 0

x 2 - x + 1 4 - 1 4 + y 2 = 0

x - 1 2 2 + y 2 = 1 4

Então, a diretriz Γ é uma circunferência!

Agora, vamos fazer o esboço da superfície: Ω : x 1 - z 2 + y 1 - z 2 - x 1 - z = 0 . Para isto, iremos utilizar softwares para nos auxiliar.

Ao vocês fazerem o esboço, é importante sempre colocarem o vértice. Continuando, temos:

Passo 3

Agora, vamos para a letra c). Lá, a diretriz Γ dada foi:

Γ : x z = 1 y = 1

Como a segunda superfície é um plano paralelo a um dos planos coordenados, podemos isolar a sua variável e substituir na primeira equação.

Com isto, vamos obter:

x z = 1

Que é exatamente a primeira equação, já que ela não era função de z . A equação da diretriz consiste na equação de uma hipérbole x 2 - z 2 = 2 após uma rotação de 45° em torno de O y .

Então, a diretriz Γ é uma hipérbole!

Agora, vamos fazer o esboço da superfície: Ω : x z y 2 = 1 . Para isto, iremos utilizar softwares para nos auxiliar.

Ao vocês fazerem o esboço, é importante sempre colocarem o vértice. Continuando, temos:

Passo 4

Agora, vamos para a letra c). Lá, a diretriz Γ dada foi:

Γ : x z = 1 y = 0

Como a segunda superfície é um plano paralelo a um dos planos coordenados, podemos isolar a sua variável e substituir na primeira equação.

Com isto, vamos obter:

x z = 1

Que é exatamente a mesma hipérbole obtida do passo anterior.

Para este caso, não iremos fazer um esboço do desenho, pois ele consiste apenas em pontos de um plano.

A ideia para o esboço desta cônica é o primeiro e quarto quadrante do plano y = 0 (o que implica em x z > 0 ) mais a origem 0,0 , 0 .

Resposta

Para a letra a), a curva Γ é uma parábola o esboço de Ω é:

Para a letra b), a curva Γ é uma circunferência o esboço de Ω é:

Para a letra c), a curva Γ é uma hipérbole o esboço de Ω é:

Para a letra d), a curva Γ é uma hipérbole.

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Obtenha, em cada caso, uma da superfície gerada pela rotação da curva Γ = Ω 1 ∩ Ω 2 em torno de O x (no item (c), e é o número de Euler).(d) Ω 1 : y = 0 Ω 2 : 3 x 2 + 3 z = 1
Obtenha, em cada caso, uma equação livre de parâmetros para a superfície gerada pela rotação da curva Γ em torno de O z ( Γ é descrita por equações paramétricas).(b) Γ : x = λ ,y = λ 2 ,z = λ 3 λ ∈ R
Obtenha, em cada caso, uma equação livre de parâmetros para a superfície gerada pela rotação da curva Γ em torno de O z ( Γ é descrita por equações paramétricas).(c) Γ : x = λ + 1 ,y = λ - 1 ,z = λ 2
Obtenha, em cada caso, uma da superfície gerada pela rotação da curva Γ = Ω 1 ∩ Ω 2 em torno de O x (no item (c), e é o número de Euler).(c) Ω 1 : y = 0 Ω 2 : x = e z
Obtenha uma equação da superfície gerada pela rotação de Γ = Ω 1 ∩ Ω 2 em torno de O z .(b) Ω 1 : y = 0 Ω 2 : 3 x 2 + 3 z = 1