Lista de Exercícios Resolvidos de Superfícies

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Ache uma equação da superfície cônica de vértice ( 0 ,   0 ,   0 ) cuja diretriz é a parábola

p :   x 2 - 2 z + 1 = 0 y - z + 1 = 0

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Ache uma equação da superfície cilíndrica de diretriz

C :   x 2 + y 2 + z 2 = 4 z = 0

Cujas geratrizes são paralelas à reta Δ :   x = λ y = λ + 1 z = 2 λ

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Obtenha uma equação da superfície gerada pela parábola

C : z = y 2 - 1 x = 0

Quando gira em torno de O y .

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Mostre que cada uma das equações representa uma superfície cilíndrica e determine a equação da curva diretriz e um vetor paralelo às retas geratrizes.

  1. x 2 + y 2 + 2 z 2 + 2 x z - 2 y z = 1

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Ache uma equação da superfície cônica de vértice V = ( 1 ,   - 1 ,   3 ) que tem por diretriz a circunferência

C :   x 2 + y 2 = 1 z = 0

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Encontrar a equação (em coordenadas cartesianas) da superfície cilíndrica S com curva diretriz a cônica C :   x 2 + 4 y = 0 no plano O x y e retas geratrizes paralelas ao vetor v → = ( - 1 ,   2 ,   - 3 ) .

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Ache uma equação da superfície de rotação gerada pela curva

C : x 2 + y 2 = 1 x + z = 0

Em torno da reta

r : x = α y = α z = α

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Obtenha uma equação cartesiana (livre de parâmetros) para a superfície de revolução Γ , obtida pela rotação da curva

γ :   y 2 4 + z - 6 2 16 = 1 x = 0

Em torno da reta l : X = 0 ,   0 ,   6 + λ ( 0 ,   1 ,   0 ) . Faça um esboço de Γ .

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Escreva a equação do cilindro obtido rotacionando a reta x = 0 ,   y = 1 ,   z = t ,   t ∈ R , em torno do eixo O z . Faça um desenho.

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No plano x O y considere a parábola P : y 2 + x - 4 y = 0 .

a) Determine o vértice e o foco de P .

b) Esboce P .

c) Escreva a equação da diretriz de P .

d) Escreve uma equação livre de parâmetros para a superfície no espaço obtida pela rotação da parábola

P :   y 2 + x - 4 y = 0 z = 0

Em torno do eixo O y .

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Determine uma equação livre de parâmetros para a superfície de revolução Ω obtida de Τ em torno de r , onde

Τ :   x 2 + y 2 - z + 1 2 = 0 y - z = 0

r : X = 0 ,   - 1 2 , - 1 2 + λ ( 0 ,   1 ,   1 )

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Obtenha uma equação livre de parâmetros para a superfície cilíndrica Γ cuja diretriz é a intersecção da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 com o plano 2 y + 3 z = 6 e cujas diretrizes são paralelas ao eixo z .

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Obtenha uma equação livre de parâmetros para a superfície gerada pela rotação da curva Τ :   x + y + z = 0 x - y - z = 2 em torno da reta r : X = - 1 ,   0 ,   0 + λ ( 0 ,   0 ,   1 ) .

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Determine uma equação livre de parâmetros para as seguintes superfícies:

  1. Superficie de revolução Ω obtida de Τ em torno a r , onde:
  2. Τ : x 2 - y 2 = 1 z = 2   e   r : X = 0,0 , 2 + λ 1,0 , 0

  3. Superfície cônica dada pelo vértice V = ( 0,1 , 0 ) e pela curva

Τ : x 2 + y 2 = 1 z = 3

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Determine uma equação livre para a superfície cilíndrica Ω que tem como diretriz a curva Τ , interseção da superfície S : x 2 + y 2 = 1 com o plano π : x - z = 0 , e cujas geratrizes são perpendiculares ao plano π .

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Determine uma equação livre de parâmetros para a superfície de revolução obtida ao se girar a curva

γ :   y + z - 3 = 0 x - 3 = 0

Em torno da reta

l : X = 1 ,   0 ,   3 + λ ( 0 ,   1 ,   0 )

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Determine uma equação livre de parâmetros para a superfície cilíndrica cujas geratrizes são paralelas ao vetor v → = ( 0 ,   0 ,   1 ) e cuja diretriz é a curva

γ :   x 2 - y 2 + z 2 = 0 x + y + 2 z - 4 = 0

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Determine uma equação livre de parâmetros para a superfície de revolução Γ cujo eixo é a reta l : X = 0 ,   0 ,   0 + λ ( 1 ,   1 ,   0 ) e cuja diretriz é a curva

γ : x y = 1 z = 0

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Determine uma equação livre de parâmetros para a superfície cilíndrica cujas geratrizes são paralelas à reta r : X = - 2 ,   1 ,   - 2 + λ ( 1 ,   - 1 ,   - 1 ) e cuja diretriz é a curva γ :   2 x 2 - y = 0 z = 1 .

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Determine uma equação livre de parâmetros para a superfície cônica Ω que tem diretriz

γ : x 2 + y + 2 2 = 1 z = 0

e vértice V = ( 0 ,   0 ,   2 ) . Observe se todos os pontos de Ω são dados pela equação obtida.

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Determine uma equação livre de parâmetros para a superfície cônica Ω cujo vértice é o ponto V = ( 1 ,   0 ,   0 ) e cuja diretriz é a curva

γ : z = x 2 + y ² z = 1

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Considere a superfície cônica Ω cuja diretriz é a curva

γ :   x 2 - 3 z 2 + 3 = 0 y - 3 = 0

a) Determine uma equação livre de parâmetros para Ω .

b) Lembrando que uma superfície cônica é a união das retas que passam pelo vértice e por algum ponto da curva-diretriz, decida se cada uma das retas r : X = λ ( 3 ,   0 ,   1 ) e s : X = λ 3 ,   1 , 2 3 está ou não contida em Ω . Caso esteja, determine o ponto da curva-diretriz que a reta contém.

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Encontra uma equação livre de parâmetros para a superfície cilíndrica que tem diretriz

Γ :   x 2 9 + z - 3 2 4 = y + 2 z = 0

E geratrizes paralelas ao vetor v → = ( 0 ,   1 ,   - 3 ) .

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Obtenha uma equação cartesiana (livre de parâmetros) para a superfície cônica Ω , cujo vértice é V = ( 0 ,   0 ,   4 ) e cuja diretriz é a curva

γ :   x 2 + y 2 + z - 2 2 = 4 z = 3

Faça um esboço de Ω .

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Dado o ponto A = ( 1 ,   2 ,   3 ) e a reta l , paralela ao eixo O z e que passa por A , faça um esboço e encontre uma equação para o lugar geométrico dos pontos X = ( x ,   y ,   z ) tais que

d X ,   l = 2

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Determine uma equação livre de parâmetros para a superfície cônica que tem vértice na origem e diretriz à curva Γ : - x 2 + y 2 = 4 z = 2

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Encontre uma equação livre de parâmetros para a superfície cilíndrica Ω com geratrizes paralelas ao vetor v → = ( 3 ,   0 ,   2 ) e diretriz Γ :   y 2 = 3 z x = 0

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