Enunciado

Nos exercícios 11-12, calcule u → ⋅ v → , u ⋅ w e v ⋅ w e mostre que os vetores satisfazem a Fórmula (5) e as partes (a), (b), e (c) do Teorema 5.3.3.

Passo 1

A questão nos dá os seguintes vetores:

u → = 1 + i , 4,3 i

v → = 3 , - 4 i , 2 + 3 i

w = 1 - i , 4 i , 4 - 5 i

a = 1 + i

E a equação (3) da seção 5.3 diz que:

u → ⋅ v → = u 1 ⋅ v 1 - + … + u n ⋅ v n -

Passo 2

Vamos calcular os produtos vetoriais

Primeiro u → ⋅ v → :

u → ⋅ v → = 1 + i , 4,3 i ⋅ 3 , - 4 i , 2 + 3 i u → ⋅ v → = 1 + i ⋅ 3 + 4 ⋅ 4 i + 3 i ⋅ ( 2 - 3 i ) u → ⋅ v → = 12 + 25 i

Vamos calcular u → ⋅ w → utilizando a Equação (3)

u → ⋅ w → = 1 + i , 4,3 i ⋅ 1 - i , 4 i , 4 - 5 i u → ⋅ v → = 1 + i 1 + i + 4 ⋅ - 4 i + 3 i ⋅ ( 4 + 5 i ) u → ⋅ w → = - 15 - 2 i

Vamos calcular v → ⋅ w → utilizando a Equação (3)

v → ⋅ w → = 3 , - 4 i , 2 + 3 i 1 - i , 4 i , 4 - 5 i u → ⋅ v → = 3 1 + i + - 4 i - 4 i + ( 2 + 3 i ) ( 4 - 5 i ) v → ⋅ w → = - 20 + 25 i

Passo 3

E agora vamos mostrar que o Teorema 5.3.3(a) está correto. Para isso vamos efetuar o produto escalar v → ⋅ u → :

v → ⋅ u → = 3 , - 4 i , 2 + 3 i 1 + i , 4,3 i v ⋅ u = 3 1 - i - 4 i ⋅ 4 + ( 2 + 3 i ) ( - 3 i ) v → ⋅ u → = 12 - 25 i

O produto vetorial de u → ⋅ v → = 12 + 25 i . O conjugado deste produto é: u → ⋅ v → - = 12 - 25 i

Ou seja:

v → ⋅ u → = u → ⋅ v → -

Isso mostra que o Teorema 5.3.3(a) está corretor

Passo 4

Vamos demonstrar o Teorema 5.3.3(b)

u → v → + w → = 1 + i , 4,3 i 3 , - 4 i , 2 + 3 i + 1 - i , 4 i , 4 - 5 i

Vamos efetuar a soma dos vetores:

u → v → + w → = 1 + i , 4,3 i 4 - i , 0,6 - 2 i u → v → + w → = ( 1 + i ) ⋅ 4 + i + 0 + 3 i ⋅ 6 + 2 i u → v → + w → = - 3 + 23 i

Perceba que podemos organizar a expressão da seguinte forma:

u → v → + w → = ( 12 + 25 i ) + ( - 15 - 2 i )

Pelos cálculos que fizemos no Passo 2, sabemos que u → ⋅ v → = 12 + 25 i e que u → ⋅ w → = - 15 - 2 i . Substituindo na equação:

u → v → + w → = u → ⋅ v → +   u → ⋅ w →

Isso demonstra que o Teorema 5.3.3(b) está correto.

Passo 5

O Teorema 5.3.3(c) diz que:

a u → ⋅ v → = a u → ⋅ v →

Vamos calcular o lado direito desta equação:

a u → ⋅ v → = ( 1 + i ) ⋅ 1 + i , 4,3 i ⋅ 3 , - 4 i , 2 + 3 i

Vamos efetuar o produto entre o escalar e o vetor:

a u → ⋅ v → = 2 i , 4 + 4 i , - 3 + 3 i ⋅ 3 , - 4 i , 2 + 3 i

E agora efetuamos o produto escalar entre os vetores:

a u → ⋅ v → = 6 i + 16 i - 16 + 3 + 15 i

a u → ⋅ v → = - 13 + 37 i

Podemos colocar o ( 1 + i )   em evidência:

a u → ⋅ v → = ( 1 + i ) ( 12 + 25 i )

Como calculamos no Passo 2: u → ⋅ v → = 12 + 25 i . Alem disso a = ( 1 + i ) .   Vamos substituir esses valores na equação:

a u → ⋅ v → = a ⋅ ( u → ⋅ v → )

Isso demonstra que o Teorema 5.3.3(c) está correto.

Resposta

u → ⋅ v → = 12 + 25 i

u → ⋅ w → = - 15 - 2 i

v → ⋅ w → = - 20 + 25 i

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