Enunciado

Nos Exercícios 3 - 12 , determine se o conjunto equipado com as operações dadas é um espaço vetorial. Para os que não são espaços vetoriais, identifique os axiomas que falham.

O conjunto de todas as matrizes 2 × 2 invertíveis com as operações matriciais padrão de adição e multiplicação por escalar.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Vamos considerar que V é o conjunto de todas as matrizes 2 × 2 invertíveis com a adição de matriz padrão e multiplicação escalar.

Vamos considerar duas matrizes invertíveis:

u = 1 0       0 1

E:

u = - 1 0       0 - 1

Ambas as matrizes são invertíveis e pertencentes ao conjunto dos vetores V .

Vamos testar nosso primeiro axioma:

u + v = 1 0       0 1 + - 1 0       0 - 1

u + v = 1 - 1 0 + 0       0 + 0 1 - 1

u + v = 0 0       0 0

u + v = 0

Assim, podemos dizer que a matriz resultante é uma matriz zero e que não é invertível.

Pela definição de V , temos que u + v não é um vetor em V .

Portanto, o conjunto fornecido não satisfaz o axioma nos levando a concluir que o conjunto V não é um espaço vetorial.

Resposta

Não é espaço vetorial.

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