Enunciado

Nos Exercícios 17-20, encontre a solução geral do sistema linear e confirme que os vetores linha da matriz de coeficientes são ortogonais aos vetores solução.

17.

x 1 + x 2 + x 3 = 0 2 x 1 + 2 x 2 + 2 x 3 = 0 3 x 1 + 3 x 2 + 3 x 3 = 0

Passo 1

Podemos rescrever nosso sistema na forma matricial, para resolvermos nosso problema, logo:

1 1 1 2 2 2 3 3 3 ⋅ x 1 x 2 x 3 = 0 0 0  

Vamos encontrar a solução do sistema por meio da matriz aumentada M .

1 1 1 2 2 2 3 3 3       0       0       0

L 2 ← L 2 - 2 L 1

L 3 ← L 3 - 3 L 1

Fazendo essas operações lineares na nossa matriz, temos:

1 1 1 0 0 0 0 0 0       0       0       0

Como a segunda e terceira linha, são nulas, podemos omiti-las para solucionar o sistema, logo nosso sistema vai ficar da forma:

1 1 1 ⋅ x 1 x 2 x 3 = 0

x 1 + x 2 + x 3 = 0

Passo 2

Como nosso sistema, é um sistema homogêneo, e já o escalonamos, então podemos obter a solução a partir dessa equação:

x 1 + x 2 + x 3 = 0

    x 1 = - x 2 - x 3 x 2 = x 2 x 3 = x 3

De acordo com o livro, adotamos as letras r , s , t para solução, logo a solução é:

    x 1 = - s - t ,   x 2 = s   e x 3 = t

Passo 3

Para verificarmos que os vetores linha da matriz de coeficientes são ortogonais aos vetores solução, podemos escrever a solução de forma vetorial.

x = ( - s - t   ,   s   , t )

e temos o vetor linha r 1 = ( 1,1 , 1 ) , fazendo o produto escalar:

r 1 ⋅ x = 1,1 , 1 ⋅ - s - t   ,   s   , t = 1 - s - t + 1 s + 1 t = - s - t + s + t = 0

Como r 1 ⋅ x = 0 , podemos concluir que vetores linha da matriz de coeficientes são ortogonais aos vetores solução.

Resposta

    x 1 = - s - t ,   x 2 = s   e x 3 = t

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