Enunciado

Encontre a inversa de ([[cos (theta),s,e,n,(theta)],[-,s,e,n,(theta),c,o,s,,(,theta,)]])

Passo 1

Vamos primeiramente determinar uma equação para calcularmos a inversa de uma matriz

2 xx 2 .

Sendo A = ([[a,b],[c,d]]) , sua matriz inversa é dada por:

A^(- 1) = (1)/(d e t (A)) ([[d,-,b],[-,c,a]])

Passo 2

O determinante é calculado pegando o produto da diagonal principal e subtraindo do produto da diagonal secundária.

d e t (A) = a_11 a_22 - a_12 a_21

Analisando a matriz A = ([[cos (theta),s,e,n,(theta)],[-,s,e,n,(theta),c,o,s,,(,theta,)]]) temos que seu determinante é dado por

det (A) = (cos (theta) xx cos (theta)) - ( s e n ( theta ) xx ( - s e n (theta) ) )

det (A) = cos^2 ( theta ) - (- s e n^2 (theta))

det (A) = cos^2 (theta) + s e n^2 ( theta )

Usando a identidade trigonométrica cos^2 (theta) + s e n^2 ( theta ) = 1

det (A) = cos^2 (theta) + s e n^2 (theta)

det (A) = 1

Logo, a matriz é invertível com determinante igual a 1

Passo 3

Agora, vamos aplicar a segunda parte do teorema que consiste em inverter a diagonal principal e manter a diagonal secundária com os sinais trocados e multiplicar pelo inverso do determinante.

A^(- 1) = (1)/(1) ([[cos (theta),-,s,e,n,(theta)],[s,e,n,(theta),c,o,s,,(,theta,)]])

A^(- 1) = ([[cos (theta),-,s,e,n,(theta)],[s,e,n,(theta),c,o,s,,(,theta,)]])

Resposta

([[cos (theta),-,s,e,n,(theta)],[s,e,n,(theta),c,o,s,,(,theta,)]])

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